1 . 有一个由n个城市组成的王国，其某些城市之间有道路相连，满足：（1）所有道路互不相交（若某两个城市间有道路相连，则称它们相邻）；（2）对任意两个城市都可以从一个城市出发沿道路走到另一个城市（中间可能通过其他城市）；（3）从任意一个城市出发，如果每一条道路至多利用一次的话，一旦离开则不可能回到出发的城市．国王进行如下改革：任命改革前的n位市长中的每一位改革后仍担任市长；任命改革前相邻城市的两位市长改革后仍在某两个相邻城市任市长．证明：存在一个城市改革前后由同一个人任市长，或者存在两个相邻城市改革前后互换市长．

2 . 给定.若共取有限个不同值，证明：x，.

3 . 如图，是的一条弦，的垂直平分线交于两点，交于点．为内一点，外接圆交于点的外接圆交于点，且点在直线同侧．证明：．

4 . 求方程的整数解，其中p､q是质数，r､s是大于1的正整数，并证明所得到的解是全部解.

5 . 已知平面上100个不同的点构成的集合中每两点的距离不小于1.证明：能从中选出4个点，使得它们两两之间的距离至少为2.

6 . 已知是抛物线上三个不同的动点，有两边所在的直线与抛物线相切.证明：的重心在定直线上.

7 . 设函数满足对于每个，均存在一个，使得，其中，是f复合m次．设是满足上述条件的k中的最小值，证明：数列无界．

8 . 设均为正数，证明：
（1）若，则；
（2）若，则.

9 . 在锐角中，D为边上一定点，P为边上一动点，直线交于点Q，交于点X．、、的三个外接圆分别交于X外的另三点、、，过、、分别作垂线、、，证明：、、均过定点．

10 . 证明：如下构造的空间曲线的任意五等分点组都不在同一球面上，曲线的构造：作周长为的圆，在圆上取使的长度，并以为轴将旋转得弧，在圆上取，使的长度的长度，并以为轴将旋转度得弧，这样，由弧组成的曲线便是空间曲线．（如图所示）