2006高三·江苏·竞赛
1 . 设 a 、b 、c 为正数 ， 记 d 为（a -b）2、（b -c）2、（c -a）2 中的最小数.
（1）求证 ：存在 λ（0 <λ<1），使得d ≤λ（a2 +b2 +c2）；
（2）求出使不等式 ①成立的最小正数 λ，并给予证明.
（1）求证 ：存在 λ（0 <λ<1），使得d ≤λ（a2 +b2 +c2）；
（2）求出使不等式 ①成立的最小正数 λ，并给予证明.
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2 . 如图所示，D是△ABC中，边BC的中点，K为AC与△ABD的外接圆O的交点，EK平行于AB且与圆O交于E，若AD=DE，求证：
.
.
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解题方法
3 . 已知函数
.对任意
，且
，求证：
（1）
；
（2）
.
.对任意，且，求证：（1）
；（2）
.
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4 . 设k、l、c均为正整数，证明：存在正整数a、b满足
，且
，其中(a，b)表示a、b的最大公因数，
表示正整数m的所有不同正因子的个数.
，且，其中(a，b)表示a、b的最大公因数，表示正整数m的所有不同正因子的个数.
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5 . 证明：对任意x∈(－∞，0)∪(0，+∞)，
，且等号成立的充要条件是
.
，且等号成立的充要条件是.
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6 . 将凸
边形
的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形. 对
，记
是由顶点
引出的蓝色边的条数.求证：
.
边形的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形. 对，记是由顶点引出的蓝色边的条数.求证：.
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2013高三·江苏·竞赛
7 . 如图，PA、PB分别与
切于点A、B，过点P的割线与交于点C、D，M为PA的中点，CM与AB交于点E.证明：
.
切于点A、B，过点P的割线与交于点C、D，M为PA的中点，CM与AB交于点E.证明：.
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8 . 设
为实数，且
.
证明:
.
为实数，且.证明:
.
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2012高三·江苏·竞赛
9 . 设A、B是
与
的两个交点，过A作一条直线分别与、交于点C、D，过C、D分别作、的切线，并过点B作这两条切线的垂线，垂足分别为P、Q.证明:PQ是以AB为直径的圆的一条切线.
与的两个交点，过A作一条直线分别与、交于点C、D，过C、D分别作、的切线，并过点B作这两条切线的垂线，垂足分别为P、Q.证明:PQ是以AB为直径的圆的一条切线.
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