2006高三·江苏·竞赛
1 . 设 a 、b 、c 为正数 ， 记 d 为（a -b）2、（b -c）2、（c -a）2 中的最小数.
（1）求证 ：存在 λ（0 <λ<1），使得d ≤λ（a2 +b2 +c2）；
（2）求出使不等式 ①成立的最小正数 λ，并给予证明.
（1）求证 ：存在 λ（0 <λ<1），使得d ≤λ（a2 +b2 +c2）；
（2）求出使不等式 ①成立的最小正数 λ，并给予证明.
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2 . 如图所示，D是△ABC中，边BC的中点，K为AC与△ABD的外接圆O的交点，EK平行于AB且与圆O交于E，若AD=DE，求证：
.
.
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解题方法
3 . 已知函数
.对任意
，且
，求证：
（1）
；
（2）
.
.对任意，且，求证：（1）
；（2）
.
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4 . 设k、l、c均为正整数，证明：存在正整数a、b满足
，且
，其中(a，b)表示a、b的最大公因数，
表示正整数m的所有不同正因子的个数.
，且，其中(a，b)表示a、b的最大公因数，表示正整数m的所有不同正因子的个数.
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5 . 证明：对任意x∈(－∞，0)∪(0，+∞)，
，且等号成立的充要条件是
.
，且等号成立的充要条件是.
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6 . 在数列
中，已知
，
.求证：
.
中，已知，.求证：.
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2010高三·江苏·竞赛
7 . 如图，
是半圆
上位于
轴上方的任意一点，
、
是直径的两个端点，以
为一边作正方形
，
、
分别与交于点
、
.求证：
、
、
成等比数列.
是半圆上位于轴上方的任意一点，、是直径的两个端点，以为一边作正方形，、分别与交于点、.求证：、、成等比数列.
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8 . 已知点O为凸四边形ABCD内的一点，AO=OB，CO=OD，
，E、F、G分别是线段AB、BC、CD的中点，求证：
为正三角形.
，E、F、G分别是线段AB、BC、CD的中点，求证：为正三角形.
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9 . 将凸
边形
的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形. 对
，记
是由顶点
引出的蓝色边的条数.求证：
.
边形的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形. 对，记是由顶点引出的蓝色边的条数.求证：.
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上的两个动点，满足
，求证：
为定值
,则点P在定圆上.
