1 . 
的外接圆与内切圆分别为
、
，
为
旁切圆．
1．证明：存在唯一圆
，与内切、与外切，并且与内切于点A．
2．设圆与、的切点分别为P、Q．如果
，求证：
．
的外接圆与内切圆分别为、，为旁切圆．1．证明：存在唯一圆
，与内切、与外切，并且与内切于点A．2．设圆
与、的切点分别为P、Q．如果，求证：．
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2 . 如图所示，在等腰中，，设点D是边
上一点，点E是线段
的中点，延长
与底边
交于点F，证明：若
，求证：
.
中，，设点D是边上一点，点E是线段的中点，延长与底边交于点F，证明：若，求证：.
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3 . 求证：对空间不共面的任意四点
，都存在唯一的菱形
使
；若四点共面，结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出反例．
，都存在唯一的菱形使；若四点共面，结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出反例．
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4 . （1）求证：存在无穷多个正整数
，使得
和
同时是合数；
（2）试判断，是否存在正整数
，使得对于任意正整数
，总有
和
之一为质数？并证明你的结论．
，使得和同时是合数；（2）试判断，是否存在正整数
，使得对于任意正整数，总有和之一为质数？并证明你的结论．
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5 . 给定双曲线
，过它的一个焦点作直线
，交C于点
分别为C的实轴端点.求证:对于任意满足条件的l，
的交点在一条定直线上，给出该直线方程并证明你的结论.
，过它的一个焦点作直线，交C于点分别为C的实轴端点.求证:对于任意满足条件的l，的交点在一条定直线上，给出该直线方程并证明你的结论.
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6 . 已知
，
.
（1）求证：
；
（2）证明：若点
在指数函数
的图像上，则对同一个
，点
也在对数函数
的图像上.
，.（1）求证：
；（2）证明：若点
在指数函数的图像上，则对同一个，点也在对数函数的图像上.
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2006高三·江苏·竞赛
7 . 设 a 、b 、c 为正数 ， 记 d 为（a -b）2、（b -c）2、（c -a）2 中的最小数.
（1）求证 ：存在 λ（0 <λ<1），使得d ≤λ（a2 +b2 +c2）；
（2）求出使不等式 ①成立的最小正数 λ，并给予证明.
（1）求证 ：存在 λ（0 <λ<1），使得d ≤λ（a2 +b2 +c2）；
（2）求出使不等式 ①成立的最小正数 λ，并给予证明.
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8 . 已知、
、
为实数，对大于1的整数都有
．
（1）若
、
、
成等差数列，求证：
、
、
也成等差数列；
（2）若
、
、
成等差数列，找一个反例，使
、
、
不成等差数列；
（3）对
，若
、
、
成等差数列，且公差不为0，问：
、
、
是否成等差数列？证明你的结论．
、、为实数，对大于1的整数都有．（1）若
、、成等差数列，求证：、、也成等差数列；（2）若
、、成等差数列，找一个反例，使、、不成等差数列；（3）对
，若、、成等差数列，且公差不为0，问：、、是否成等差数列？证明你的结论．
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9 . 设
．
（1）若
，求证：
是完全平方数；
（2）证明：存在无穷多个正整数对
，使得．
．（1）若
，求证：是完全平方数；（2）证明：存在无穷多个正整数对
，使得．
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