1 . 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“平衡集”．
(1)判断集合是否是“平衡集”并说明理由；
(2)求证：若集合是“平衡集”，则集合中元素的奇偶性都相同；
(3)证明：四元集合，其中不可能是“平衡集”．

2 . 设是空间中任意一条线段，O是空间中任意一点，求证：M为中点的充要条件是

3 . 设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.

4 . 证明：a，b，c三数成等差数列的充要条件是．

5 . 已知
(1)求证是关于的方程有解的一个充分条件；
(2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件．

6 . 已知，是实数，求证：成立的充要条件是.

7 . 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a³＋b³＋ab－a²－b²＝0的充要条件．

8 . 判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
(1)末尾数是偶数的数能被整除；
(2)对任意实数，都有；
(3)方程有一个根是奇数．

9 . 已知集合．
(1)判断8、9、10是否属于集合A；
(2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”．

10 . 十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（       ）

A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解

B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解

C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解

D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解