名校
1 . “弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制,此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图,在正方形
中,有4个全等的直角三角形,若图中
的两锐角分别为
,且小正方形与大正方形的面积之比为
,则
的值为________ .
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2 . 阿波罗尼斯(古希腊数学家),证明过这样的一个命题:平面内与两定点距离之比为常数
(
且
)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在
中,
,
,当
面积最大时,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4a70fd837c70b944a66450bbcf6946bc.png)
__________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2f0d68648b10fce54dfc19c5ee60086d.png)
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23-24高一上·江苏·课后作业
3 . 基本概念
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动,如钟摆的摆动,水中浮标的上下浮动,琴弦的振动,等等.这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动.在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数
表示,其中
.描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:
就是这个简谐运动的_____ ,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离﹔这个简谐运动的周期是![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23cb763b3517a6204a9e9eb1d6163553.png)
_____ ,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fba10e2b49f882c0bf86da78a2bcccae.png)
______ 给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;
称为____ ;
时的相位
称为____ .
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动,如钟摆的摆动,水中浮标的上下浮动,琴弦的振动,等等.这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动.在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f22913740fbba02818b997c44298803d.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bb45f673c56a289ea78831c9237e8d20.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
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名校
解题方法
4 . 无字证明(proof without words)是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题,如图是某三角恒等式的无字证明,那么该图证明的三角恒等式为__________ .
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/6/14/13cf9ace-987e-45b3-9f16-a17dbcc52b23.png?resizew=435)
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2023-06-13更新
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604次组卷
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2卷引用:湖南师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期第二次大练习数学试题
解题方法
5 . 三角形面积公式
(1)三角形的面积等于两边及两边夹角的正弦值之积的一半,即![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0ec636d85f67b42dafd7d78dfcf3f1f9.png)
______ =______ .
证明:建立如图所示的平面直角坐标系,设
,则有
所以
.同理,
的面积还可以表示为
和![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4cafc1c7cb266cee6688897751c358f.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/23/3ff6246c-fd69-419d-8095-8f22a1af9298.png?resizew=205)
(2)
(请用正弦定理自行证明).
(1)三角形的面积等于两边及两边夹角的正弦值之积的一半,即
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0ec636d85f67b42dafd7d78dfcf3f1f9.png)
证明:建立如图所示的平面直角坐标系,设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9c62ede314dfcdeb672a6c3283ba1644.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0352186606719dd9bb81edf7ef14365f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0baa8e9985597168988f8087c4cdbf9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/65e764ca37a5ec48b009f16bbd386c06.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4cafc1c7cb266cee6688897751c358f.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/23/3ff6246c-fd69-419d-8095-8f22a1af9298.png?resizew=205)
(2)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d530f66c8c0ca63c6d7f2192fbce352e.png)
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6 . 正弦定理:三角形的各边和它所对角的__________ ,即![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d3f7dce380b3e1be1196ed18612f0ce.png)
_____ =____ =____ (R为
外接圆的半径).
点拨:对
的证明如下(R为
外接圆的半径).
证明:设
是
的外接圆,直径
.
如图①,当A为锐角时,连接
,则
.
又因为
,所以
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/23/30639010-fc58-4465-a655-4219e7ffbcc2.png?resizew=354)
如图②,当A为钝角时,连接
,则
.
因为
,可得
,所以
.
当A为直角时,显然有
.
综上所述,不论A是锐角、钝角或直角,总有
.
同理可证
,所以
.
由此可知,三角形各边和它所对角的正弦的比相等,是一个定值,这个定值就是三角形外接圆的直径.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d3f7dce380b3e1be1196ed18612f0ce.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
点拨:对
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c30b12f8bf54428846cf378ffd5a23b7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
证明:设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3d97cdc586744d208b6f69c9813af977.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6aeee1fed5dedd997d80a62b300cd4bd.png)
如图①,当A为锐角时,连接
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d78abbad68bbbf12af10cd40ef4c353.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/37dbe6c3e8e8bb4a350722296a98517f.png)
又因为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/150dbfe3d6686d423e70d2d430089de9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e993f6547ee186befb37a24b501e417.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/23/30639010-fc58-4465-a655-4219e7ffbcc2.png?resizew=354)
如图②,当A为钝角时,连接
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9d78abbad68bbbf12af10cd40ef4c353.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/37dbe6c3e8e8bb4a350722296a98517f.png)
因为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/513e9a98b50b5953543938d868e87257.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/870cd9f489ae712a24a84d1e196c031b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e993f6547ee186befb37a24b501e417.png)
当A为直角时,显然有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e993f6547ee186befb37a24b501e417.png)
综上所述,不论A是锐角、钝角或直角,总有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e993f6547ee186befb37a24b501e417.png)
同理可证
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7b9bc8b9d1f2e2d10897247a526a4ef6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c30b12f8bf54428846cf378ffd5a23b7.png)
由此可知,三角形各边和它所对角的正弦的比相等,是一个定值,这个定值就是三角形外接圆的直径.
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7 . 刘徽是我国古代著名数学家,他对《九章算术》中的各个图形面积计算公式的正确性进行验证,树立了中国数学史上对数学命题进行逻辑证明的典范.刘徽认为圆可以看成一簇半径连续增大的同心圆叠合而成,那么这些同心圆的周长也可以叠成一个等腰三角形(如图
),该圆(周长为
,半径为
)的面积与等腰三角形的面积相等.即
.若某图形由圆心角为
,弧长为
的扇形剪去一个小扇形得到,且它们所在圆的半径差为
(如图
),运用这种积线成面的面积观,求该图形的面积![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/447a9718a502491b47072ce013c26a2f.png)
___________ (用
表示).
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c88d9142df6ba8e43c1a93bd04a1362.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4aa0df7f1e45f9de29e802c7f19a4f64.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a24167028a8ade3ebb958d4875e66127.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c02bc0c74292b1e8f395f90935d3174.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61128ab996360a038e6e64d82fcba004.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/447a9718a502491b47072ce013c26a2f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/26053e58ca70f932a766aacae7b543aa.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/8/16/247f369a-5134-4177-9b90-10483fb3c39b.png?resizew=579)
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2022-08-15更新
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689次组卷
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7卷引用:2023版 苏教版(2019) 必修第一册 名校名师卷 第十单元 角与弧度
2023版 苏教版(2019) 必修第一册 名校名师卷 第十单元 角与弧度2023版 湘教版(2019) 必修第一册 名师精选卷 第十单元 任意角与弧度制(已下线)7.1 角与弧度(2)(已下线)第四章 三角函数与解三角形 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数(讲)(已下线)模块二 专题4《三角函数的概念》单元检测篇 A基础卷 (人教A)(已下线)模块二 专题4《三角函数的概念》单元检测篇 A基础卷 (人教A)期末终极研习室(已下线)考点20 三角函数的数学文化 --2024届高考数学考点总动员【讲】
8 . 证明S不是函数
的周期的方法:___________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4fe7d5809da02c15a43a0e9a898b9086.png)
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9 . “无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请观察图,根据半圆中所给出的量,补全三角恒等式![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b85be3917998d2f99b9eb3cbac115c3d.png)
,第一个括号为 ______ ,第二个括号为_______ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b85be3917998d2f99b9eb3cbac115c3d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9368c5c47e686f10cfdafc0a26d5b8dc.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/15/80a82fde-0127-4a04-9e66-e65a3af4ee53.png?resizew=232)
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名校
10 . 南宋时期,数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式:如果一个三角形的三边长分别为
,那么三角形的面积
,后人称之为秦九韶公式.这与古希腊数学家海伦证明的面积公式
,
实质是相同的.若在
中,
,
,
,则
的面积为____ ,
的内切圆半径为____ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/76f0649064a085fb74c997fb507a9b6d.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f95d641982270ff58fe55a80e6891d5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a69d6967f3611f00ab636fe89c0cfce3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dae8221601c7bd5c51fd520615581fa1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c3ad4c0ba3a6750537789844d0ec419d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/305a88d4e0249bd16d48eda01331d2d4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
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2021-08-03更新
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139次组卷
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2卷引用:浙江省丽水市2020-2021学年高二下学期期末数学试题