1 . 设曲线C的方程是，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线．
(1)写出曲线的方程；
(2)证明：曲线C与关于点对称；
(3)如果曲线C与有且仅有一个公共点，证明：且．

2 . 在圆内用坐标法证明：
(1)垂直于弦的直径平分弦；
(2)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦．

3 . 在数轴上，对坐标分别为和的两点A和B，用绝对值定义两点间的距离，表示为．
(1)在数轴上任意取三点A，B，C，证明．
(2)设A和B两点的坐标分别为和2，分别找出（1）中不等式等号成立和等号不成立时点C的范围．

4 . 某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为、.已知该冷却通风塔的最窄处是圆O，其半径为1；上口为圆，其半径为；下口为圆，其半径为；高（即圆与所在平面间的距离）为.

(1)求此双曲线的方程；
(2)以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x轴、y轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆上任取一点，在下口圆上任取一点.请给出、的值，并求出与的值；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P、Q的坐标，并证明此时线段PQ上任意一点都在曲面上.