1 . 对于给定集合，若集合中任意两个不同元素之和仍是集合中的元素，则称集合是“封闭集合”．设为实常数且，集合，证明：集合为“封闭集合”的充要条件是：存在整数，使得．

2 . 已知集合，集合为集合的m元子集，且中元素均为孤立元素．孤立元素的定义为：当，且时，则称x为集合A中的孤立元素．
(1)列出所有符合题意的集合；
(2)设为集合的所有可能的集合个数，求的最大值，并说明理由；
(3)在集合的所有可能集合中，存在元素在所有可能的集合中出现的次数最少，求出这样的元素并指出其出现次数，并说明理由．

3 . 设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：①A的元素个数不小于3；②若，则的所有因数都属于A；③若，，，则，请回答下面的问题：
(1)证明：1，2，3，4，5都是集合A的元素
(2)判断2021是否集合A的元素，并说明理由

4 . 设，现有以下三个条件：
甲：且
乙：
丙：
求证：甲分别是乙和丙的充分条件．

5 . 已知M由0，2，4，6，8组成的集合，.
(1)用列举法表示集合N，用描述法表示集合M（书写格式要规范）
(2)若x∈B而x ∉ A，则称B不是A的子集.结合集合M，N写出5个含M中3个元素但不是M的子集的集合.

6 . 记为平面上所有点组成的集合并且，，说明下列集合的几何意义：
(1)；
(2)．

7 . 使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言：
(1)“255是正整数”；
(2)“不是有理数”；
(3)“3.1416是正有理数”；
(4)“是整数”；
(5)“是负实数”.

8 . 已知集合.
(1)判断是否属于集合A；
(2)若正整数能表示为某个整数的平方，，证明：；
(3)若集合，证明：.

9 . 设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．
(1)当时，写出集合A的生成集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．

10 . 设集合.
（1）将集合中的元素进行从小到大的排列，求最小的六个元素组成的子集；
（2）对任意的，判定和是否是集合中的元素？并证明你的结论.