名校
1 . 设定义在
上的函数
的值域为A，若集合A为有限集，且对任意
，存在
，使得
，则满足条件的集合A的个数为______ ．
上的函数的值域为A，若集合A为有限集，且对任意，存在，使得，则满足条件的集合A的个数为
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解题方法
2 . 设
，若非空集合
同时满足以下4个条件，则称是“
无和划分”:
①
；
②
；
③
，且
中的最小元素大于
中的最小元素；
④
，必有
.
(1)若
，判断是否是“
无和划分”，并说明理由.
(2)已知是“无和划分”（
）.
①证明:对于任意
，都有
；
②若存在
，使得
，记
,证明：
中的所有奇数都属于
.
，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”:①
；②
；③
，且中的最小元素大于中的最小元素；④
，必有.(1)若
，判断是否是“无和划分”，并说明理由.(2)已知
是“无和划分”（）.①证明:对于任意
，都有；②若存在
，使得，记,证明：中的所有奇数都属于.
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2024-06-10更新
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134次组卷
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2卷引用：北京市丰台区2023-2024学年高一上学期期末练习数学试卷
解题方法
3 . 对于数集
，
，定义向量集
，若对任意
，存在
使得
，则称X是“对称的”.
(1)判断以下三个数集
、
、
是否是“对称的”（不需要说明理由）；
(2)若
，且
是“对称的”，求
的值；
(3)若“对称的”数集，
满足：
，
，
.求证：
.
，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称X是“对称的”.(1)判断以下三个数集
、、是否是“对称的”（不需要说明理由）；(2)若
，且是“对称的”，求的值；(3)若“对称的”数集
，满足：，，.求证：.
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名校
4 . 若集合
，集合
，其中
，则称集合
是集合
的一个“
元子集”.若“元子集”中的元素
满足对任意
，恒有
，则称为的一个“个性独立子集”.已知集合
，集合是的一个“个性独立子集”.
(1)求所有满足条件的集合的个数；
(2)若
且互不相等，证明：
为定值.
，集合，其中，则称集合是集合的一个“元子集”.若“元子集”中的元素满足对任意，恒有，则称为的一个“个性独立子集”.已知集合，集合是的一个“个性独立子集”.(1)求所有满足条件的集合
的个数；(2)若
且互不相等，证明：为定值.
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5 . 已知数列
，从中选取第
项、第
项、…、第
项
构成数列
，称为的
项子列．记数列的所有项的和为
．当
时，若满足：对任意
，
，则称具有性质
．规定：的任意一项都是的
项子列，且具有性质．
(1)当
时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由；
(2)已知数列
．
（ⅰ）给定正整数
，对的项子列，求所有的算术平均值；
（ⅱ）若有
个不同的具有性质的子列
，满足：
，
与
都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值．
，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质．(1)当
时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由；(2)已知数列
．（ⅰ）给定正整数
，对的项子列，求所有的算术平均值；（ⅱ）若
有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值．
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6 . 设集合
、
为正整数集
的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：
①对于任意
，若
，都有
；②对于任意
，若
，则
.则称集合为集合的“
集”.
(1)若集合
，求
的“集”
；(2)若三元集
存在“集”
，且中恰含有4个元素，求证：
；(3)若
存在“集”，且
，求的最大值.
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7 . 通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合
的子集为元素的族
，满足下列三个条件：（1）
和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集
为
的非空真子集，且
，则（ ）
的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（ ）A．族 为集合上的一个拓扑 |
B．族 为集合上的一个拓扑 |
C．族 为集合上的一个拓扑 |
D．若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族 ，则也是集合上的一个拓扑 |
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解题方法
8 . 给定正整数，设集合
．对于集合中的任意元素
和
，记
．设
，且集合
，对于中任意元素
，若
则称具有性质
．
(1)判断集合
是否具有性质
？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质
的集合，并加以证明．
，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．(1)判断集合
是否具有性质？说明理由；(2)判断是否存在具有性质
的集合，并加以证明．
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2024-01-25更新
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313次组卷
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4卷引用：北京市海淀区北京交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题
北京市海淀区北京交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题（已下线）专题04 分类讨论型【讲】【北京版】2北京市延庆区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练
名校
解题方法
9 . 若集合
中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.已知函数
是“2阶准偶函数”，则
的取值范围是________
中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.已知函数是“2阶准偶函数”，则的取值范围是
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2024-01-05更新
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244次组卷
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3卷引用：安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高一上学期12月“三新”检测考试数学试题
安徽省安庆市第一中学2023-2024学年高一上学期12月“三新”检测考试数学试题（已下线）考点3 与集合相关的新定义问题 --2024届高考数学考点总动员【练】云南省昭通市教研联盟2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
解题方法
10 . 深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是__________ .
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