1 . 蜜蜂的蜂巢构造非常精巧、适用而且节省材料，蜂巢由无数个大小相同的正六边形房孔组成．由于受到了蜂巢结构的启发，现在的航天飞机、人造卫星、宇宙飞船的内部以及卫星外壳都大量采用蜂巢结构，统称为“蜂窝式航天器”．2022年五一节假日前夕，我国的神舟十三号飞行乘组平稳落地，3名航天员先后出舱，在短暂的拍照留念后，3名航天员被转移至专业的恢复疗养场所进行身体康复训练．他们所乘的返回舱外表面覆盖着蜂窝状防热材料，现取其表面中一个正六边形，它的的边长为2，若点P是正六边形的边上一点，则的取值范围是______．

2 . 在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________.

3 . 八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图（图1）的轮廓为正八边形ABCDEFGH（图2），其中是正八边形的中心，点在八条边上运动．若，则的最大值为______．

4 . 如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，已知，，，当A，B运动时，周长的最大值为______；M为线段AB的中点，H为直线OC上一点，若，则的最大值为______．

5 . 已知点且点点M在点N的左面是直线上的两个动点且，则的取值范围为__________．