1 . 已知菱形的边长为2，，点是边上的一点，设在上的投影向量为，且满足，则等于________；延长线段至点，使得，若点在线段上，则的最小值为________．

2 . 如图，D是等边内的动点，四边形是平行四边形，．当取得最大值时，__________．
   

3 . 已知等边△ABC的边长为，三个动点D、E、F分别在线段BC、AC、AB上（包含端点），动点M在△ABC的外接圆上，且满足：，，，其中，，则的最大值为______．

4 . 已知是圆上的两点，，记，，向量，若实数满足，则的最大值为______．

5 . 已知在四边形中，为等边三角形，，点为边（含端点）上的动点，与相交于点.当点为中点时，______；当点在边上运动时，若点满足，则的取值范围为______.

6 . 蜜蜂的蜂巢构造非常精巧、适用而且节省材料，蜂巢由无数个大小相同的正六边形房孔组成．由于受到了蜂巢结构的启发，现在的航天飞机、人造卫星、宇宙飞船的内部以及卫星外壳都大量采用蜂巢结构，统称为“蜂窝式航天器”．2022年五一节假日前夕，我国的神舟十三号飞行乘组平稳落地，3名航天员先后出舱，在短暂的拍照留念后，3名航天员被转移至专业的恢复疗养场所进行身体康复训练．他们所乘的返回舱外表面覆盖着蜂窝状防热材料，现取其表面中一个正六边形，它的的边长为2，若点P是正六边形的边上一点，则的取值范围是______．

7 . 在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________.

8 . 定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_______．

9 . 八卦是中国古代的基本哲学概念，八卦文化是中华文化的核心精髓，八卦图（图1）的轮廓为正八边形ABCDEFGH（图2），其中是正八边形的中心，点在八条边上运动．若，则的最大值为______．

10 . 已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为________.