1 . 设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列．
（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明；
（2）已知数列为“好”数列．
① 若，求数列的通项公式；
② 若，且对任意给定正整数（），有成等比数列，求证：．

2 . 在数列{a_n}中，a_n＝.
（1）求数列的第7项；
（2）求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
（3）区间内有没有数列中的项？若有，有几项？

3 . 对于数列，定义 设的前项和为.
（1）设，写出；
（2）证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；
（3）已知首项为0，项数为的数列满足：
①对任意且，有；
②.
求所有满足条件的数列的个数.

4 . 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列.
（Ⅰ）数列为，数列为.判断数列，是否为数列， 并说明理由；
（Ⅱ）设数列是首项为的P数列，其前项和为（）.求证：当时，；
（Ⅲ）设无穷数列是首项为a（a>0），公比为q的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，.若.判断是否为数列，并说明理由.

5 . 首项为0的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②．
（Ⅰ）请写出的所有可能值：
（Ⅱ）求证：对任意正整数中至少有一个小于0；
（Ⅲ）对于给定的正整数k，求的最大值．

6 . 已知数列，满足，，，．
（1）证明：为常数数列，且．
（2）设数列的前项和为，证明：．

7 . 已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项
（1）已知，，，求的所有可能取值；
（2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比；
（3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值.

8 . 数列满足，且，.规定的通项公式只能用的形式表示.
（1）求的值；
（2）证明3为数列的一个周期，并用正整数表示；
（3）求的通项公式.

9 . 已知数列满足，，数列可以是无穷数列，也可以是有穷数列，如取时，可得无穷数列：1，2，，，...；取时，可得有穷数列：，，0.
（1）若，求的值；
（2）若对任意，恒成立.求实数的取值范围；
（3）设数列满足，，求证：取数列中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列.

10 . 设，，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，．
（1）证明：当，时，；
（2）记，求的值．