1 . 在中，、、的对边分别为、、，其中边最长，并且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)当时，求面积的最大值．

2 . 已知a，b，c均为正实数.
(1)求证：.
(2)若，求证：.

3 . 已知a、b、c、d为正实数，请利用平均值不等式证明（1），并指出等号成立的条件，然后利用（1）证明（2），并解决（3）中的实际问题．
(1)求证：“．
(2)利用（1）中的结论证明：．
(3)如图，将边长为1的正方形纸片的四个角都沿实线剪去一个边长为x的小正方形，再将四个部分都折起，做成一个无盖长方体盒子．求该长方体盒子的容积V的最大值，以及取到最大值时实数x的值．

4 . (1)已知a，b均为正数，且，求证：
(2)已知正数x，y满足，求的最小值及的最小值.

5 . 已知实数均为正数，试求证：若（定值），则当且仅当时，取得最大值.

6 . 我们学习了二元基本不等式：设,,,当且仅当时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值.
（1）对于三元基本不等式请猜想：设       当且仅当时，等号成立（把横线补全）.
(2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明：
设求证：
(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：
设求的最大值.

7 . 已知为正实数．
(1)求证：；
(2)如果一个直角三角形的两条直角边分别为，且它的周长为.
①求证：斜边；
②求直角三角形面积的最大值.

8 . 设表示数集中最小数，表示数集中最大数．若，，，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：．