1 . 材料2．《数学必修二》第八章8．3节习题8．3设置了如下第4题：
如图1，圆锥的底面直径和高均为，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底的面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积．我们称圆柱为圆锥的内接圆柱．
根据材料1与材料2完成下列问题．
如图2，底面直径和高均为的圆锥有一个底面半径为，高为的内接圆柱．

   

(1)求与的关系式；
(2)求圆柱侧面积的最大值；
(3)求圆柱体积的最大值．

2 . 如图，用一垂直于某条母线的平面截一顶角正弦值为的圆锥，截口曲线是椭圆，顶点A到平面的距离为3.

(1)求椭圆的离心率；
(2)已知P在椭圆上运动且不与长轴两端点重合，椭圆的两焦点为，，证明：二面角的大小小于.

3 . 利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O､A､B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，于C，米，米.

(1)求抛物线的焦点到准线的距离；
(2)在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB､DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到）.

4 . “车珠子”是指将一块木料通过加工打磨变成珠子形状的过程．某同学有一个圆锥状的木块，经过测量，该木块的底面直径为，高为．该同学计划用该木料制作一个木质球，并且使得球与该圆锥内切，轴截面如图所示，试求此球的表面积和体积？