1 . 如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形,每个顶点聚集的棱的条数都相等,这个多面体叫做正多面体.有趣的是只有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体五种正多面体,现将它们的体积依次记为,
.
(1)利用金属板分别制作正多面体模型各一个,假设制作每个模型的外壳用料(即表面积)均等于
,分别求出
和
的值;并猜想
与
的大小关系(猜想不需证明)
(2)多面体的欧拉定理:简单多面体的面数
、棱数
与顶点数
满足:
.已知正多面体都是简单多面体,设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为
,每个面的边数为
,求
满足的关系式;并尝试据此说明正多面体仅有五种.
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![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/7/11/b1197459-0825-43ff-858f-f8721faa0bc7.png?resizew=548)
(1)利用金属板分别制作正多面体模型各一个,假设制作每个模型的外壳用料(即表面积)均等于
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(2)多面体的欧拉定理:简单多面体的面数
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2 . 多面体欧拉定理是指对于简单多面体,其顶点数V、棱数E及面数F间有著名的欧拉公式:
,并且多面体所有面的内角总和为
.已知某正多面体所有面的内角总和为
,且各面都为正三角形,设过每个顶点的棱数为n,则该正多面体的顶点数V=_________ ,棱数E=__________ .
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2023-03-19更新
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114次组卷
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3卷引用:11.3 多面体与旋转体(四大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)
(已下线)11.3 多面体与旋转体(四大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)陕西省榆林市神木中学2020-2021学年高二下学期第四次测试理科数学试题(B)陕西省榆林市神木中学2020-2021学年高二下学期第四次测试文科数学试题(B)
3 . 下列命题:①由五个面围成的多面体只能是三棱柱;②由若干个平面多边形围成的几何体是多面体;③仅有一组对面平行的五面体是棱台;④正多面体只有五种.其中,真命题的个数是______ .
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解题方法
4 . 如图,在正三棱锥
中,D,E,F,G分别为
的中点.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/13/844a8ec0-c93f-464d-bfec-4583e43e2048.png?resizew=135)
(1)证明:D,E,F,G四点共面,且
平面
.
(2)刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容,用“曲率”刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制).例如:正四面体每个顶点均有3个面角,每个面角均为
,故各个顶点的曲率均为
.若正三棱锥
在顶点S的曲率为
,且
,求四边形
的面积.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/41e5db1d2fd912f77923e4c120a7dc19.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/10f676428f69456e296652ef1c05618e.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/13/844a8ec0-c93f-464d-bfec-4583e43e2048.png?resizew=135)
(1)证明:D,E,F,G四点共面,且
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3f81fa367ec317fe2a30142e1c30cce7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b2257da1e2425f2ea9ac7440f52659ff.png)
(2)刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容,用“曲率”刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e9fdc1f8ed0ae44b54a9a2a3aca2db4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2d88591679796c52024d11c4de641bdb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e5bd935181364b978930d5292e320b1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/41e5db1d2fd912f77923e4c120a7dc19.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b2257da1e2425f2ea9ac7440f52659ff.png)
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2021-07-08更新
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458次组卷
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6卷引用:11.3 多面体与旋转体(四大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)
(已下线)11.3 多面体与旋转体(四大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)湖南省部分学校2020-2021学年高一下学期6月联考数学试题河北省石家庄市2020-2021学年高一下学期第三次月考数学试题(已下线)第07讲 基本立体图形与直观图(核心考点讲与练)-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略(人教A版2019必修第二册)(已下线)第五篇 向量与几何 专题21 曲率与曲率圆 微点3 曲率与曲率圆综合训练(已下线)模块一 专题5 基本立体图形和直观图 B提升卷
名校
5 . 如图一副直角三角板,现将两三角板拼成直二面角,得到四面体
,则下列叙述正确的是( )
①平面
的法向量与平面
的法向量垂直;
②异面直线
与
所成的角为
;
③四面体
有外接球;
④直线
与平面
所成的角为
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/10/25/2836806448037888/2837728884629504/STEM/73193178b2794084ba7e8cabe8982776.png?resizew=126)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/10/25/2836806448037888/2837728884629504/STEM/cb8025d1e3e24c49940a45828ed528ca.png?resizew=188)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
①平面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca67a5b8f69507c8b80379e86f90a8ce.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b4eb7e9ad5486cf1c5e506b20c5469e8.png)
②异面直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0dc5c9827dfd0be5a9c85962d6ccbfb1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/03902478df1a55bc99703210bccab910.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be6a6301878fed2a01413020b27310a5.png)
③四面体
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
④直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9e52a8f07834cbbbe4224962672fbbb2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7bef5239ddbb0972700ce01daf9ee7cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f6b86c22b670a8e9f3896f9e8883fbbb.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/10/25/2836806448037888/2837728884629504/STEM/73193178b2794084ba7e8cabe8982776.png?resizew=126)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2021/10/25/2836806448037888/2837728884629504/STEM/cb8025d1e3e24c49940a45828ed528ca.png?resizew=188)
A.②④ | B.③ | C.③④ | D.①②③④ |
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6 . 正多面体也称柏拉图立体,被喻为最有规律的立体结构,其所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形,且每一个顶点所接的面数都一样,各相邻面所成二面角都相等).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体
和一个正八面体
的棱长都是a(如图),把它们拼接起来,使它们一个表面重合,得到一个新多面体.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/2/3/eaf15142-da03-42ca-8aba-80d34458cc28.png?resizew=320)
(1)求新多面体的体积;
(2)求二面角
的余弦值;
(3)求新多面体为几面体?并证明.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6cb6c9306a25f041d7801274838b43dd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c87bc797aad25e4ccdc9d722a87b642c.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/2/3/eaf15142-da03-42ca-8aba-80d34458cc28.png?resizew=320)
(1)求新多面体的体积;
(2)求二面角
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e4b820c84570da9c38d0a81c22788b76.png)
(3)求新多面体为几面体?并证明.
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2021-05-11更新
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978次组卷
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7卷引用:11.3 多面体与旋转体(四大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)
(已下线)11.3 多面体与旋转体(四大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)辽宁省葫芦岛市2021届高三一模数学试题(已下线)专题06 空间图形的表面积和体积-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习(苏教版2019必修第二册)辽宁省名校2021届高三第一次联考数学试题江苏省苏州市昆山市周市高级中学2021-2022学年高三上学期暑期网课自主学习测试数学试题辽宁省沈阳市第一二〇中学2021-2022学年高二上学期期初质量监测数学试题(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题二 交汇世界文化 微点2 与世界文化遗产有关的的立体几何问题综合训练【基础版】
7 . 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著.是《算经十书》中最重要的一部,其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”,下列说法错误的是
A.“羡除”有且仅有两个面为三角形 | B.“羡除”一定不是台体 |
C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除” | D.“羡除”至多有两个面为梯形 |
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2020-11-05更新
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357次组卷
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6卷引用:2023版 湘教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第4章 4.1 空间的几何体 4.1.1 几类简单几何体 第1课时 几类简单多面体
2023版 湘教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第4章 4.1 空间的几何体 4.1.1 几类简单几何体 第1课时 几类简单多面体广东省佛山市顺德区2021届高三上学期第二次教学质量检测数学试题(已下线)考点27 空间几何体的结构及其三视图与直观图-备战2021年高考数学(文)一轮复习考点一遍过(已下线)考点28 空间几何体的结构及其三视图与直观图-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点一遍过福建省莆田市2020-2021学年高二上学期数学期末考试数学试题广东省河源市2021届高三下学期3月第一次联考数学试题
8 . 连接空间几何体上的某两点的直线,如果把该几何体绕此直线旋转角
,使该几何体与自身重合,那么称这条直线为该几何体的旋转轴.如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且4个顶点
,
,
,
在同一平面内.则这个八面体的旋转轴共有( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/9/13/2549127942774784/2577841017626624/STEM/a937553d-2d42-47e0-b6ca-8fd8b56e8a3a.png?resizew=201)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c54ce139ae5d63691cac8a1ce5bbfe4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5db41a1f31d6baee7c69990811edb9f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8455657dde27aabe6adb7b188e031c11.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/9/13/2549127942774784/2577841017626624/STEM/a937553d-2d42-47e0-b6ca-8fd8b56e8a3a.png?resizew=201)
A.7条 | B.9条 | C.13条 | D.14条 |
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9 . 如图是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/25/32641470-045f-4189-be20-4b21b5b3d892.png?resizew=127)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/25/32641470-045f-4189-be20-4b21b5b3d892.png?resizew=127)
A.6 | B.7 | C.8 | D.9 |
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2020-01-31更新
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344次组卷
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2卷引用:人教B版(2019) 必修第四册 逆袭之路 第十一章 立体几何初步 11.1.3 多面体与棱柱
18-19高一·全国·课后作业
10 . 如图,在正方体各顶点处割去一个三棱锥,使三棱锥的底面三角形的顶点为正方体各棱的中点(例如顶点A1处割去了三棱锥A1-EFG,E、F、G分别为A1A、A1B1、A1D1的中点),试问所得到的几何体有多少个面?多少个顶点?多少条棱?
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/30/1d28d7c3-396f-4a5b-95d0-452fc9188487.png?resizew=179)
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