1 . 已知圆：交轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交直线于点Q．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ圆O相切；
(3)试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

2 . 已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.
(1)求双曲线的方程
(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.

3 . 已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、.
(1)求边的中线所在的直线方程；
(2)求证：.

4 . 已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为、，离心率为，且过点.
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）若直线系（其中为参数）所过的定点恰在双曲线上，求证：.