1 . 已知圆心在第一象限，半径为的圆与轴相切，且与轴正半轴交于，两点（在左侧），（为坐标原点）．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点任作一条直线与圆相交于，两点．
①证明：为定值；②求的最小值．

2 . 已知圆与圆关于直线对称，且点，在圆上，
（1）判断圆与圆的位置关系；
（2）设为圆上任意一点，.，与不共线，为的平分线，且交于，求证与的面积之比为定值.

3 . 已知圆和轴相切于点，与轴的正半轴交于、两点（在的左侧），且.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）过点任作一条直线与圆：相交于点、，连接和，记和的斜率分别为，，求证：为定值.

4 . 已知以点（且）为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点.
（）求证：的面积为定值.
（）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程.

5 . 在平面直角坐标系中，已知以点（）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线（）与圆C交于M，N两点，且点为线段的中点.
（1）求m的值和圆C的方程；
（2）若Q是直线上的动点，直线，分别切圆C于A，B两点，求证：直线恒过定点；
（3）若过点（）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u，并求u的最大值.

6 . 在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线x＋y－3＝0上，圆C经过点A(0，4)，且与直线3x－4y＋16＝0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标．

7 . 已知圆A经过点和Q点，且在y轴上截得的线段长度为．
（1）求圆A的标准方程；
（2）过点作直线，与圆A交于点C、D，连接、，过点B作的平行线，交于点E，求证：点E的轨迹是椭圆，并求出该椭圆方程；
（3）设直线l是点E的轨迹的任意一条切线，则x轴是否存在一对关于原点对称的点F、G，使得点F、G到直线l的距离之积为定值．若存在，请求出这对点；若不存在，请说明理由．

8 . 已知圆：，直线：.
（1）证明直线总与圆相交；
（2）当直线被圆所截得的弦长为时，求直线的方程；
（3）当时，直线与圆交于、两点，求过、两点在轴截得弦长为的圆的方程.

9 . 如图，已知，，是椭圆的三个顶点，椭圆的离心率，点到直线的距离是.设是椭圆上位于轴左边上的任意一点，直线，分别交直线于，两点，以为直径的圆记为.

（1）求椭圆的方程；
（2）求证：圆始终与圆：相切，并求出所有圆的方程.

10 . 已知圆与两条坐标轴都相交，且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）若动点在直线上，过引圆的两条切线，，切点分别为，，求证：直线恒过定点．