1 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为8，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点是抛物线准线上的任意一点，过点作直线与抛物线相切于点，证明：.

2 . 已知直线过抛物线：的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为.
(1)求抛物线的方程;
(2)若点，过点的直线与抛物线相交于,两点，设直线与的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值.

3 . 已知抛物线C：y²＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．

4 . 已知圆，圆心在抛物线上，圆过原点且与的准线相切.
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，点（与不重合）在直线上运动，过点作的两条切线，切点分别为，求证：.

5 . 已知抛物线的准线方程是.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.

6 . 已知点为抛物线 的焦点，点在抛物线 上，且．

（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知点，延长 交抛物线于点 ，证明：以点为圆心且与直线 相切的圆，必与直线相切．

7 . 已知曲线上的任意点到点的距离比它到直线的距离小1，
（1）求曲线的方程；
（2）点的坐标为，若为曲线上的动点，求的最小值
（3）设点为轴上异于原点的任意一点，过点作曲线的切线，直线分别与直线及轴交于，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在轴上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？请证明你的结论