【推荐1】已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）直线与椭圆在点处的切线交于点，当点在椭圆上运动时，求证：以为直径的圆与直线恒相切.

【推荐2】已知圆，直线，.
(1)求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；
(2)求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.

【推荐3】已知圆C方程为，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.
（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；
（2）判断直线与圆C的位置关系，并证明你的结论；
（3）当时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线，的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知抛物线C的顶点在坐标原点O，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点O到直线的距离为d，求d的最大值．