1 . 已知抛物线的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于 O的两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线AB过点（8，0），求证：直线OA，OB的斜率之积为定值

2 . 已知抛物线：的焦点为，其准线：与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）点关于轴的对称点为，证明:存在实数，使得.

3 . 已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点.
（1）求抛物线的方程及的值；
（2）若点关于轴的对称点为，证明：存在实数，使得.

4 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点F在直线上．
（Ⅰ）求抛物线C的方程．
（Ⅱ）过点作互相垂直的两条直线与曲线C交于A，B两点，与曲线C交于E,F两点，线段AB、EF的中点分别为M、N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．

5 . 已知抛物:，其焦点为，抛物线上一点到准线的距离4，且.
（1）求此抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于，两点，求证：．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，已知直线：，抛物线： （）．

（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；
（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和．
①求证：线段PQ的中点坐标为；
②求的取值范围．

7 . 已知双曲线：的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为．已知点为抛物线内一定点，过作两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．

（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若，证明：直线过定点．

8 . 已知椭圆：．
（1）若抛物线的焦点与的焦点重合，求的标准方程；
（2）若的上顶点、右焦点及轴上一点构成直角三角形，求点的坐标；
（3）若为的中心，为上一点(非的顶点)，过的左顶点，作，交轴于点，交于点，求证：．

9 . 已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线上一点，圆与轴相切（为圆心），且，关于点对称.
（1）求圆和抛物线的标准方程；
（2）过的直线交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：.

10 . 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为圆的圆心，直线与抛物线的准线和轴分别交于点、，且、的纵坐标分别为、．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线恒与圆相切．