1 . 已知椭圆与双曲线有两个相同的顶点，且的焦点到其渐近线的距离恰好为的短半轴的长度．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作不垂直于坐标轴的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 已知椭圆C：，为C的右焦点，且长轴长为短轴长的2倍．
(1)求C的方程；
(2)若不过原点的直线l与C交于A，B两点，且直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，问是否为定值，若是求出该定值；若不是说明理由．

3 . 已知椭圆上任一点到，的距离之和为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，设直线不经过点,与交于，两点，若直线的斜率与直线的斜率之和为，判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

4 . 已知椭圆的离心率为，右顶点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l 与C有两个交点A，B，线段AB 中点为M，证明：直线OM 的斜率与直线l的斜率乘积为定值．

5 . 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且过点的直线l交椭圆于A，B两点，的周长为8．
（1）求椭圆E的方程；
（2）证明：．

6 . 已知点在椭圆上，且点到的两焦点的距离之和为．
（1）求的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交于点、，是线段的中点，求的值．

7 . 已知圆，为上任意一点，，的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，过的直线交于两点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值.

8 . 已知椭圆,，过椭圆的右顶点和上顶点的直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆的上顶点,过点分别作直线交椭圆于两点,设这两条直线的斜率分别为,且,证明: 直线 过定点

9 . 已知椭圆经过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中 为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．