1 . 如图，在中，，若以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.设动顶点.

(1)求顶点A的轨迹方程；
(2)记第（1）问中所求轨迹曲线为，设，过点作动直线与曲线交于两点（点在轴下方）.求证：直线与直线的交点在一条定直线上.

2 . 已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.

3 . 曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，C上的点M(不在x轴上)满足，且直线的斜率之积等于．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于A，B两点，若，其中，证明：．

4 . 已知圆，圆，动圆P与M外切且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)证明C是椭圆（除去一点），并求C的方程；
(2)①一组方向向量为（k为常数）的平行直线与C均有两个公共点，证明这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；
②上图是该椭圆旋转一定角度所得的图形，请写出一种尺规作图方案以确定其两个焦点的位置，并在答卷的图中画出来.（不必说明理由）.

5 . 已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆相交于两点（在的上方），记，求证：为定值，并求的最小值；
(3)如图2，已知过的动直线与椭圆相交于两点，求证：直线的交点在一条定直线上运动．

6 . 曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点．
（1）求的方程；
（2）求证：内切圆的圆心在定直线上．

7 . 已知圆锥曲线上的点的坐标满足．
（1）说明是什么图形，并写出其标准方程；
（2）若斜率为1的直线与交于轴右侧不同的两点，，点为．
①求直线在轴上的截距的取值范围；
②求证：的平分线总垂直于轴．