1 . 在直角坐标系中，，，分别为椭圆的右焦点、右顶点和上顶点，若，.
(1)求、的值；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，过作平行于轴的直线交椭圆于另外一点，连接，求证：直线经过一个定点．

2 . 已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.
(1)求椭圆的方程；
(2)当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

4 . 在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点，.
(1)求实数取值所组成的集合；
(2)是否存在定点使得任意的，都有直线，的倾斜角互补.若存在，求出所有定点的坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 已知离心率为的椭圆:经过点(0,-1),且分别是椭圆的左、右焦点,不经过的斜率为的直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如果直线的斜率依次成等差数列,求的取值范围,并证明的中垂线过定点.

6 . 已知定圆,动圆过点,且和圆相切．
（I）求动圆圆心的轨迹的方程；
（II）设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点、,点．若、、三点不共线,且．证明：动直线经过定点．

7 . 已知椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为A₁．求证：直线A₁B过x轴上一定点，并求出此定点坐标．

8 . 在平面直角坐标系中，椭圆E：（a>0，b>0）经过点A（，），且点F（0，－1）为其一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E与y轴的两个交点为A₁，A₂，不在y轴上的动点P在直线y＝b²上运动，直线PA₁，PA₂分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．