1 . 已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆：，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点．

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，，证明：直线必过定点，并求此定点坐标．

3 . 已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.
(1)求椭圆的方程；
(2)当变化时，①求的值；②试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.

4 . 在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点，.
(1)求实数取值所组成的集合；
(2)是否存在定点使得任意的，都有直线，的倾斜角互补.若存在，求出所有定点的坐标；若不存在，请说明理由.

5 . 已知离心率为的椭圆:经过点(0,-1),且分别是椭圆的左、右焦点,不经过的斜率为的直线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如果直线的斜率依次成等差数列,求的取值范围,并证明的中垂线过定点.

6 . 如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．

7 . 设椭圆经过点，且离心率等于.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由.

8 . 已知定圆,动圆过点,且和圆相切．
（I）求动圆圆心的轨迹的方程；
（II）设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点、,点．若、、三点不共线,且．证明：动直线经过定点．

9 . 已知椭圆C：，左焦点，且离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：（）与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

10 . 已知点为椭圆上的任意一点（长轴的端点除外），、分别为左、右焦点，其中为常数．

（1）若点在椭圆的短轴端点位置时，为直角三角形，求椭圆的离心率．
（2）求证：直线为椭圆在点处的切线方程；
（3）过椭圆的右准线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别为．请判断直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标，若不经过定点，请说明理由．