1 . 已知椭圆与y轴的正半轴相交于点M，且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为．
（Ⅰ）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；
（Ⅱ）求三角形ABM的面积的最大值．

2 . 已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.

3 . 椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足丨PQ丨=2，∠PF₂Q=90°，且△PF₂Q的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l不经过点A（0,1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

4 . 如图，过点的直线与椭圆相交于两点，过点作轴的平行线交椭圆于点．

(1)求证：直线过定点并求点的坐标；
(2)求三角形面积的最大值．

5 . 已知椭圆的对称轴为坐标轴,焦点在轴,离心率为.是椭圆与轴负半轴的交点,且.
(1)求曲线的方程;
(2)过作两条直线，且与曲线的异于的交点分别为.设的斜率分别是，若,求证:由确定的直线经过定点.

6 . 已知椭圆过点，两个焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率之和为2，证明：直线恒过定点.

7 . 已知椭圆过点，且离心率．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，证明直线过定点，并求出定点坐标．

8 . 在直角坐标系中，，，分别为椭圆的右焦点、右顶点和上顶点，若，.
(1)求、的值；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，过作平行于轴的直线交椭圆于另外一点，连接，求证：直线经过一个定点．

9 . 已知椭圆的两个焦点为，是椭圆上一点，若，.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线过右焦点（不与轴重合）且与椭圆相交于不同的两点，在轴上是否存在一个定点，使得的值为定值？若存在，写出点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由.

10 . 已知椭圆的焦点在轴上，且椭圆的焦距为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，过作轴且与椭圆交于另一点，为椭圆的右焦点，求证：三点在同一条直线上．