1 . 已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为(O为坐标原点).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上的一点，过P的直线与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限内的一点M，证明：|PF|＋|PM|为定值.

2 . 已知点和圆：，是圆的直径，和是线段的三等分点，（异于）是圆上的动点，于，（），直线与交于，则当__________时，为定值．

3 . 如图所示，椭圆：（）的离心率为，左焦点为，右焦点为，短轴两个端点、，与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，且.

（1）求椭圆的方程；
（2）求证直线与轴相交于定点，并求出定点坐标；
（3）当弦的中点落在内（包括边界）时，求直线的斜率的取值.

4 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，求证：若圆与直线相切，则圆与直线也相切.

5 . 已知定直线，定点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点且与相切.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）椭圆的弦的中点分别为，若平行于，则斜率之和是否为定值？ 若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.

6 . 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为、，为椭圆上的动点，且的最大值为16．
(1)求椭圆的方程；
(2)设A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，当在第一象限时，直线与轴交于点M，直线与轴交于点N，问与面积之差是否为定值？说明理由．

7 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，且过点．
（）求椭圆的标准方程．
（）、、、是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这条直线互相垂直，求证：为定值．

8 . 椭圆与直线相交于、两点，且，其中为坐标原点．
(1)求的值；
(2)若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴长的取值范围．

9 . 已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的上顶点作直线交抛物线于、两点，为原点.
①求证：；
②设、分别与椭圆相交于、两点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明：为定值.

10 . 如图，已知椭圆：的左右焦点分别是，直线与椭圆交于两点，当时，恰为椭圆的上顶点，此时的面积为6.

（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为，直线与直线分别相交于点，问当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由.