1 . 已知椭圆：的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设与直线（为坐标原点）平行的直线l交椭圆于，两点，求证：直线，与轴围成一个等腰三角形．

2 . 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.

(1)求椭圆M的方程；
(2)设直线l与椭圆交于两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

3 . 已知椭圆系方程：(，)，是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且.

(1)求的方程；
(2)为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为，求证：的面积为定值，并求出这个定值．

4 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以点为圆心，以3为半径的圆与以点为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.设点，在中，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线不经过点，且与椭圆相交于，两点，若直线与的斜率分别为，，求的值.

5 . 已知椭圆：的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点．
(1)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(2)如果，原点到直线的距离为，求的取值范围．

6 . 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线相交于P，两点，且
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程和圆A的方程；

（Ⅱ）不过原点的直线与椭圆C交于M、N两点，已知OM，直线，ON的斜率成等比数列，记以OM、ON为直径的圆的面积分别为S₁、S₂，试探究的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.

7 . 已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交轴于点，且，当变化时，证明：为定值；
（3）当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

8 . 已知椭圆，离心率，点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点是椭圆上一点，左顶点为A，上顶点为，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．

9 . 已知点，为椭圆:上异于点A,B的任意一点．
（Ⅰ）求证：直线、的斜率之积为-；
（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点、，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

10 . 已知椭圆：的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于两点．
①求证：直线的斜率为定值；
②求面积的最大值（其中为坐标原点）．