1 . 如图，是正三角形，一点从A出发，每次投掷一枚骰子，若向上点数大于或等于5，则沿的边顺时针移动到下一个顶点；若向上的点数小于或等于4，则沿的边逆时针移动到下一个顶点.
   
(1)求投掷2次骰子后，该点恰好回到A点的概率；
(2)若投掷4次骰子，记经过B点的次数为X，求.

2 . 甲、乙分别拥有3张写有数字的卡片，甲的3张卡片上的数字分别为X，Y，Z，乙的3张卡片上的数字分别为x，y，z，已知．他们按如下规则做一个“出示卡片，比数字大小”的游戏：甲、乙各出示1张卡片，比较卡片上的数字的大小，然后丢弃已使用过的卡片．他们共进行了三次，直至各自用完3张卡片，且在出示卡片时双方都不知道对方所出示的卡片上的数字．三次“出示卡片，比数字大小”之后，认定至少有两次数字较大的一方获得胜利．
(1)若第一次甲出示的卡片上写有数字X，乙出示的卡片上写有数字z，求乙最终获得胜利的概率；
(2)记事件“第一次乙出示的卡片上的数字大”，事件“乙获得胜利”，试比较A和B哪个概率大，并说明理由．

3 . 甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，重新加工完进行再次质检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理．已知甲加工的零件首次质检的合格率为，重新加工后再次质检的合格率为，乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为，且每次质检合格与否相互独立，现由甲、乙两人各加工1个零件．
(1)求这2个零件均质检合格的概率；
(2)若一等品的价格为100元，二等品的价格为50元，废品的价格为0元，求这2个零件的价格之和不低于100元的概率.

4 . 皮试是皮肤敏感试验的简称，是临床最常用的特异性检查．某些药物在临床使用过程中容易发生过敏反应，为了防止过敏反应的发生，规定一些容易发生过敏反应的药物在使用前需要做皮肤敏感试验，皮试阴性的药物可以给病人使用，皮试阳性的药物则禁止使用．某医疗机构现对治疗同一种疾病的A，B两种药物进行皮肤敏感试验，随机选择的60名受试者的试验结果如下表：

	阴性	阳性
药物A	25	5
药物B	20	10

(1)判断是否有95%的把握认为皮试药物与皮试结果有关；
(2)若随机选择4名受试者，其中2名使用皮试药物A，2名使用皮试药物B，用频率估计概率，求3名受试者结果为阴性，1名受试者结果为阳性的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：

	0.25	0.15	0.10	0.05
	1.323	2.072	2.706	3.841

5 . 甲、乙两人组成“梦想队”参加“极速猜歌”比赛，比赛共两轮.第一轮甲、乙两人各自先从“经典红歌”曲库中随机抽取一首进行猜歌名，每猜对一首歌曲歌名即给该人加1分，没猜对不加分，也不扣分.第二轮甲、乙两人各自再从“流行歌曲”曲库中随机抽取一首进行猜歌名，每猜对一首歌曲歌名即给该人加2分，没猜对不加分，也不扣分.已知甲猜对“经典红歌”曲库中歌曲歌名的概率为，猜对“流行歌曲”曲库中歌曲歌名的概率为.乙猜对“经典红歌”曲库中歌曲歌名的概率为，猜对“流行歌曲”曲库中歌曲歌名的概率为，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
(1)求“梦想队”恰好猜对三首歌曲歌名的概率；
(2)求“梦想队”恰好获得4分的概率.

6 . 为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献，联合国教科文组织第四十届大会上把每年的3月14日定为“国际数学日”.2023年3月14日，某学校举行数学文化节活动，其中一项活动是数独比赛（注：数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，又称九宫格）.甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺.决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得1分，没做对得0分，两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛.根据以往成绩分析，已知甲每轮做对的概率为0.8，乙每轮做对的概率为0.75，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响.
(1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率；
(2)求不进行加赛甲就获得数独王的概率.

7 . 将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记下骰子朝上的点数．若用表示第一次抛掷出现的点数，用表示第二次抛掷出的点数，用表示这个试验的一个样本点．
(1)记“两次点数之和大于9”，“至少出现一次点数为3”，求事件A，B的概率；
(2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明理由．

8 . 某高中学校在5月20日召开高三毕业典礼，为给高三学生创造轻松的氛围，典礼上有一个“开盲盒”游戏环节，主持人拿出10个盲盒，每个盲盒中装有一个学校标志建筑物的模型，其中有3个“校园”模型，4个“图书馆”模型，2个“名人馆”模型，1个“科技馆”模型.
(1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种模型的概率；
(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是“图书馆”模型的概率；
(3)甲同学是个“科技狂热粉”，特别想取到“科技馆”模型，主持人为了满足甲同学的愿望，设计如下游戏规则：在一个不透明的袋子中装有大小完全相同的10个小球，其中9个白球，1个红球，有放回的每次摸球一个，摸到红球就可以取走“科技馆”模型，游戏结束．现在让甲同学参与游戏，规定甲同学可以按游戏规则最多摸球10次，若第10次还是摸到白球，主持人直接赠予甲同学“科技馆”模型．设他经过第X次（X=1，2，…，10）摸球并获得“科技馆”模型，求X的分布列.

9 . 某智力问答节目中，选手要从，两类题中各随机抽取2个进行作答.类题一共有5个，每个题答对得5分，答错得0分，类题数量非常多，每个题答对得3分，答错得0分.小明参与该节目，在类题中小明仅能答对其中的4个，每个类题小明能答对的概率都是.且每个类题回答正确与否相互独立.
(1)求小明恰好答对2个题的概率；
(2)求小明答类题和答类题得分的期望之和.

10 . 试分别解答下列两个小题：
(1)设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，记事件“方程没有实根”，事件 “方程有且仅有一个实根”，求．
(2)甲、乙、丙三位同学各自独立地解决同一个问题，已知这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为，记“三人中只有一个人正确解决了这个问题”，求．