1 . 已知一个质点沿正四面体的棱做匀速运动，每秒钟都等可能地从正四面体的一个顶点运动到另一个顶点，且顶点是该质点的初始位置．
(1)若该质点第1秒运动到顶点，则第4秒运动到顶点的不同运动路线有多少条？
(2)设该质点在3秒内经过顶点的次数为，求的分布列与数学期望；
(3)设该质点第秒恰好在顶点处的概率为，求数列的通项公式．

2 . 从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.
(1)请写出该试验的样本空间;
(2)设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;
(3)若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.

3 . 利用如图所示的两个转盘玩配色游戏两个转盘各转一次，观察指针所指区域的颜色（不考虑指针落在分界线上的情况）．事件A表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B表示“转盘②指针所指区域是绿色”，用样本点表示，．

4 . 甲､乙两名飞行员进行飞机着陆训练，表示事件“甲降落至指定地点”，表示“乙降落至指定地点”.试用，的运算表示下列随机事件：
(1)甲或乙降落至指定地点；
(2)甲和乙都降落至指定地点；
(3)甲降落至指定地点，但乙没有降落至指定地点；
(4)甲､乙两人都没有降落至指定地点；
(5)甲､乙至少有一人降落至指定地点.

5 . 投掷一枚硬币（正反等可能），设投掷n次不连续出现三次正面向上的概率为.
(1)求，，和；
(2)写出的递推公式，并指出增减性.

6 . 某市为遏制新型冠状病毒肺炎的传播，针对不同的风险区，施行了不同的封控政策.为保障封控区人民群众日常生活和核酸检测的顺利进行，现面向全市招募志愿者，从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分成5组，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求a的值；
(2)若从第2，4组中用分层抽样的方法抽取5名志愿者，再从这5名志愿者中抽取2名志愿者负责某中风险小区的日常生活物资的运输工作，求这2名志愿者来自同一年龄分组的概率.

7 . 写出下列试验的样本空间：
（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；
（2）从含有两件正品a₁，a₂和两件次品b₁，b₂的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
（3）用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况．

8 . 《中国诗词大会》是中央电视台最近推出的一档有重大影响力的大型电视文化节目，今年两会期间，教育部部长陈宝生答记者问时就给予其高度评价.基于这样的背景，某中学积极响应，也举行了一次诗词竞赛.组委会在竞赛后，从中抽取了部分选手的成绩（百分制）作为样本进行统计，作出了图1的频率分布直方图和图2的茎叶图（但中间三行污损，看不清数据）.

（1）求样本容量和频率分布直线方图中的，的值；
（2）分数在的学生中，男生有人，现从该组抽取人“座谈”，写出基本事件空间并求至少有名男生的概率.

9 . 春节是中国民间最隆重盛大的传统节日，春节历史悠久，在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗，有许多还相传至今，如买年货、贴对联、吃年夜饭、拜年、放鞭炮、逛庙会、赏花灯等．在春节期间，全国各地均举行各种贺岁活动，各地因地域文化不同而又存在着习俗内容或细节上的差异，带有浓郁的各民族特色．在某地的一个庙会上，一个商户为了吸引客人，举行摸奖游戏．在一个口袋内装有形状大小相同的5个小球，其中，3个红球、1个黑球、1个黄球；若中奖就送价值10元的一件礼品，若不中奖，就在商户这里买一件价值不低于20元的商品．
（1）若从中一次性摸出2个球，摸出黄球就中奖，求某个客人能领到一件礼品的概率；
（2）商户约定：从口袋中连续取两次球，每次取一球后放回，若取出的两个球中没有红球，则商户可以让客人免费拿一件价值50元的商品，否则，客人就得买一件价值100元的商品，某客人想试一试，问这位客人免费拿一件价值50元的商品的可能性会超过20%吗？