1 . 2015年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：
甲电商：
乙电商：
（Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）（ⅰ）根据上述数据，估计“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中，消费金额小于3千元的概率；
（ⅱ）现从“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位，记消费金额小于3千元的人数为X，试求出X的期望和方差．
甲电商：
| 消费金额（单位：千元） | [0，1） | [1，2） | [2，3） | [3，4） | [4，5] |
| 频数 | 50 | 200 | 350 | 300 | 100 |
| 消费金额（单位：千元） | [0，1） | [1，2） | [2，3） | [3，4） | [4，5] |
| 频数 | 250 | 300 | 150 | 100 | 200 |
（Ⅱ）（ⅰ）根据上述数据，估计“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中，消费金额小于3千元的概率；
（ⅱ）现从“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位，记消费金额小于3千元的人数为X，试求出X的期望和方差．
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名校
2 . 对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．已知学校要求每天早晨7:15之前到校，7:15之后到校记为迟到．小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量
（分钟）表示步行到校的时间，可以认为
．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量
（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为
．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量
（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为
．
（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？
（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量
表示这五天小明上学骑车的费用，求的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）
已知若随机变量
，则
％，
％，
％．
（分钟）表示步行到校的时间，可以认为．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为．（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？
（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量
表示这五天小明上学骑车的费用，求的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）已知若随机变量
，则％，％，％．
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名校
3 . App是英文Application的简称，现多指智能手机的第三方应用程序．随着智能手机的普及，人们在沟通、社交、娱乐等活动中越来越依赖于手机App软件．某公司为了了解其研发的App在某市的普及情况，进行了问卷调查，并从参与调查的市民中随机抽取了男、女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人）：
(1)完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为该市市民经常使用该款App与性别有关；
(2)将频率视为概率，从该市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用该款App的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差（该市参与调查的市民男女比例为1：1）．
附：
，其中
．
(3)阅读下列材料，回答问题：以（2）中所求的概率为基准，如果从该市所有参与调查的市民中随机抽取100人赠送礼品，每次抽取的结果相互独立，记经常使用该款App的人数为
，计算
．
材料：二项分布与正态分布是概率统计中两大非常重要的分布，并且这两大分布的关系非常密切，经研究表明，如果一个随机变量X服从二项分布
，当
且
时，二项分布就可以用正态分布近似替代，即
，其中随机变量
．
参考数据：
，
，
，
．
| 经常使用 | 偶尔或不用 | 总计 | |
| 男性 | 70 | 100 | |
| 女性 | 90 | 100 | |
| 总计 |
(2)将频率视为概率，从该市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用该款App的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差（该市参与调查的市民男女比例为1：1）．
附：
，其中． | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，计算．材料：二项分布与正态分布是概率统计中两大非常重要的分布，并且这两大分布的关系非常密切，经研究表明，如果一个随机变量X服从二项分布
，当且时，二项分布就可以用正态分布近似替代，即，其中随机变量．参考数据：
，，，．
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2023-05-17更新
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772次组卷
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2卷引用：辽宁省辽东南协作校2023届高三三模数学试题
