1 . 如图所示，竖直固定的光滑圆弧轨道与静止在粗糙水平面上的长木板上表面平滑对接。从轨道最高点A处将一小物块（可视为质点）由静止释放。已知物块与长木板的质量均为m＝1kg，圆弧轨道半径R＝0.8m，小物块与长木板，长木板与地面间的动摩擦因数分别为，，木板足够长，运动过程中物块不会从木板上掉下，重力加速度g取。求：
（1）小物块运动至圆弧轨道最低点B时对圆弧轨道的压力；
（2）长木板运动过程中的最大动能；
（3）长木板在地面上滑行的最大距离。
   

2 . 深刻理解运动的合成和分解的思想，可以帮助我们轻松处理比较复杂的问题。例如，比如在研究平抛运动时，我们可以将平抛运动分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动；还例如，小船在流动的河水中行驶时，如图1所示。假设河水静止，小船在发动机的推动下沿方向运动，经时间运动至对岸A处，位移为；若小船发动机关闭，小船在水流的冲击下从O点沿河岸运动，经相同时间运动至下游B处，位移为。小船在流动的河水中，打开发动机，从O点出发，船头朝向方向行驶时，小船同时参与了上述两种运动，实际位移为上述两个分运动位移的矢量和，即此时小船将到达对岸C处。请运用以上思想，分析下述两个情境：
   
（1）情境1：如图2所示，在光滑的圆柱体内表面距离底面高为处，给一质量为的小滑块沿水平切线方向的初速度（俯视如图3所示），小滑块将沿圆柱体内表面旋转滑下。假设滑块下滑过程中表面与圆柱体内表面紧密贴合，重力加速度为。求小滑块滑落到圆柱体底面时速度的大小和所用时间；
（2）情境2：在情境1的基础上，圆柱体内表面是粗糙的，小滑块在圆柱体内表面所受到的摩擦力正比于两者之间的正压力。则对于小滑块在水平方向分运动的速率随时间的变化关系图像描述正确的是下图中的哪一个？请给出详细的推理论证过程；

（3）在情景2中，若圆柱体足够高，请说明滑块的最终运动情况。

3 . 在2022年北京冬季奥运会上，中国运动员夺得自由式滑雪女子大跳台金牌。如图为该项比赛赛道示意图，AD段为助滑道，DO段为一半径为圆弧轨道，OB段为倾角的着陆坡。一质量为的运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑，经过圆弧轨道到达起跳点O时，借助设备和技巧，保持在该点的速率不变而以与水平方向成θ角（起跳角）的方向起跳，最后落在着陆坡上的某点C。已知在圆弧轨道最低点的速度为40m/s，在O点的速度大小为，不计一切摩擦和阻力，重力加速度g取。
可能用到的公式：积化和差。
（1）求运动员在圆弧轨道最低点所受到的支持力
（2）求起跳角θ为多大时落点C距O点最远？
（3）落点C距O点最远距离L为多少？
（4）在（2）问中，运动员离开雪坡的最大距离为多少？

4 . 科技馆有一套儿童喜爱的机械装置，其结构如图所示：传送带AB部分水平，其长度L₁=1.344m，以v₁=1.2m/s顺时针匀速转动。大轮半径r =6.4cm，其下端C点与圆弧轨道DEF的D点在同一水平线上，F点和倾斜传送带GH的下端G点平滑连接。圆弧轨道的半径R=0.5m，倾斜传传送带GH长为L₂=0.4m，倾角θ=37°。某同学将一质量为0.5kg的小物块轻放在水平传送带左端A处，小物块从B点离开水平传送带后，恰能从D点沿切线方向进入圆弧轨道，到达F点后，小物块以v₂=2m/s的速度滑上倾斜传送带GH。已知小物块与两段传送带的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度g＝10 m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）小物块由A到B所经历的时间；
（2）小物块在D点对圆弧的压力大小；
（3）若要小物块能被送到H端，倾斜传动带GH顺时针运转的速度应满足的条件。

6 . 如图所示，竖直平面内的圆弧光滑轨道半径R=4m，A端与圆心O等高，AC为与水平方向成37°角的斜面，B端在O的正上方，一个质量为0.1kg的小球在A点正上方某处由静止开始释放，自由下落至A点后进入圆弧轨道并能沿轨道到达B点，到达B点时小球对圆弧轨道顶端的压力大小为1N。随后小球做平抛运动，最后落到斜面上的C点。小球运动过程空气阻力不计，取，，求：
（1）小球到达B点时的速度的大小；
（2）小球离开B点后到离斜面AC所在直线最远所用的时间t；
（3）小球离开B点后离斜面AC所在直线的最大距离d。

10 . 小明用如图所示轨道探究滑块的运动规律。足够长的光滑斜轨道倾角为，斜轨道底端平滑连接长的水平轨道，水平轨道左端与半径的光滑半圆形轨道底端B平滑连接。将质量m=0.2kg的滑块（可不计大小）放在斜轨道离底端距离为处静止释放。已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数为。
（1）当、时，求滑块到达B点时对半圆轨道压力的大小；
（2）当时，为保证滑块运动时不脱离轨道，求的取值范围；
（3）为保证滑块离开半圆轨道顶端A后恰好能垂直撞击斜轨道，求的范围。