【推荐1】已知椭圆的长轴长为4，离心率为．

(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点，，直线l过坐标原点O交椭圆C于P，Q两点（点A，B位于直线l的两侧）．设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为，，，，求证：为定值．

【推荐2】在平行四边形中，，，，点E是线段的中点.
(1)求直线的方程；
(2)判断直线与直线是否垂直.

【推荐3】已知两个定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为定值（）.
(1)求动点的轨迹方程，并说明随变化时，方程所表示的曲线的形状；
(2)若，设不经过原点的直线与曲线相交于，两点，直线，，的斜率分别为，，（其中），若，，恰好构成等比数列，求的值．

【推荐1】已知两条直线：，：．
(1)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
(2)若，直线与垂直，且______，求直线的方程．
在①直线过坐标原点，②坐标原点到直线的距离为1，③直线与交点的横坐标为2这三个条件中选择一个补充在上面的问题中，使满足条件的直线有且仅有一条，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【推荐2】已知为直线上一动点，过点向圆作两切线，切点分别为．
(1)求四边形面积的最小值及此时点的坐标；
(2)求原点到直线距离的最大值．

【推荐3】已知直线：.
(1)证明无论为何值，直线与直线总相交；
(2)若为坐标原点，直线与，轴的正半轴分别交于两点，求面积的最小值.

【推荐1】在平面直角坐标系中曲线与坐标轴的交点都在圆上，已知点，，点是圆上的动点，求面积的最大值.

【推荐2】已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值．

【推荐3】△三个顶点是，圆是△的外接圆．
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．

【推荐1】已知过点，且方向向量为的直线与圆相交于不同的两点、.
（1）若时，求线段的长；
（2）若，求的值.

【推荐2】已知圆．
(1)证明：圆过定点．
(2)当时，是否存在斜率为的直线交圆于、两点，使得以为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知圆C经过点，，且圆心在直线上，
(1)求圆C的方程；
(2)若过点的直线l交圆C于E，F两点，问是否存在以EF为直径且过点的圆，若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.