【推荐1】某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站（从k到k+1）；若掷出反面，棋子向前跳两站（从k到k+2），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第站的概率为.
(1)求的值；
(2)求证：，其中；
(3)求玩该游戏获胜的概率及失败的概率.

【推荐2】已知数列满足，，且，分别求和的通项公式．

【推荐3】近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为分的概率，表示累计得分为的概率），求：
①的通项公式；
②的通项公式．

【推荐1】记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.

【推荐2】已知等差数列 满足：的前n项和为 ．
(1)求及 ；
(2)令，若对于任意 ，数列的前n项和 恒成立，求实数m的取值范围．

【推荐3】已知数列满足：，，，.
(1)证明：数列为等差数列，并写出数列的通项；
(2)求数列的前项和.

【推荐1】已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.

【推荐2】已知等差数列的首项为2，前项和为，正项等比数列的首项为1，且，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前26项和．

【推荐3】设是首项为的等比数列，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求．

【推荐1】已知等差数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.

【推荐2】已知数列的前项积为，且.
(1)证明：是等差数列；
(2)设，求数列的前项和为.

【推荐3】在数列{a_n}中，a₁＝2，a_n＝2a_n－1＋2^n＋1(n≥2，n∈N^*).
（1）若，求证：{b_n}是等差数列；
（2）在（1）的条件下，设，求{C_n}的前n项和T_n.