【推荐1】已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
（I）求，，，；
（II）求数列的前项和；
（Ⅲ）记，，求证：．

【推荐2】某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入是生产时间个月的二次函数（是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．
（1）求前8个月的累计生产净收入的值；
（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．

【推荐3】定义：在平面直角坐标系中落在坐标轴上的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）称为“轴点”．设不等式|x|＋|y|≤n（n∈N_＋）所表示的平面区域为D_n，记D_n内的“轴点”个数为．
（1）求并猜想的表达式（不需要证明）；
（2）利用（1）的猜想结果，设数列的前n项和为，数列的前n项和为T_n，若对一切n∈N_＋，恒成立，求实数的取值范围．

【推荐1】公差不为零的等差数列中，，，成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列的前n项和为，且满足．
Ⅰ求数列，的通项公式；
Ⅱ令，数列的前n项和为，求的取值范围．

【推荐2】已知数列的前项积为，满足. 数列的首项为，且满足.
（1）求数列，的通项公式;
（2）记集合，若集合的元素个数为，求实数的取值范围;
（3）是否存在正整数使得成立?如果存在，请写出满足的条件，如果不存在，请说明理由.

【推荐3】对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.
(1)若数列1，2，，8是数列，求实数的取值范围；
(2)设数列是首项为、公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；
(3)设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列、是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为、，求是数列时所满足的条件，并证明命题“若是数列，则总有”.

【推荐1】已知数列的前项和为，满足，且．正项数列满足，其前7项和为42．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围；
（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前项和．

【推荐2】设是等比数列，公比大于0，是等差数列，.已知，，，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，，其中
（i）求数列的通项公式；
（ii）若的前n项和，求.

【推荐3】已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

【推荐1】已知数列的前项和为，且
（1）求的通项公式；
（2）记,若数列是递增数列，求实数的取值范围.

【推荐2】设等比数列的前项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个1，构成如下的新数列：，求这个数列的前项的和；
（3）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列（如：在与之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为；在与之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为，…以此类推），设第个等差数列的和是. 是否存在一个关于的多项式，使得对任意恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由.

【推荐3】设是各项均为正数的等差数列，，是和的等比中项，的前项和为，.
（1）求和的通项公式;
（2）设数列的通项公式.
（i）求数列的前项和；
（ii）求.