随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列
，规定
为数列的一阶差分数列，其中
，规定
为数列的二阶差分数列，其中
．
(1)数列的通项公式为
，试判断数列
是否为等差数列，请说明理由？
(2)数列
是以1为公差的等差数列，且
，对于任意的
，都存在
，使得
，求
的值；
(3)各项均为正数的数列
的前
项和为
，且
为常数列，对满足
，
的任意正整数
都有
，且不等式
恒成立，求实数
的最大值．
，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．(1)数列
的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？(2)数列
是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值；(3)各项均为正数的数列
的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值．
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更新时间：2024-03-03 19:00:03
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【推荐1】设满足以下两个条件的有穷数列
， 
， 
， 
为
阶“期待数列”：
①
；
②
.
(1)分别写出一个单调递增的
阶和
阶“期待数列”.
(2)若某
阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式.
(3)记阶“期待数列”的前
项和为
，试证： 
.
， ， ， 为阶“期待数列”：①
；②
.(1)分别写出一个单调递增的
阶和阶“期待数列”.(2)若某
阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式.(3)记
阶“期待数列”的前项和为，试证： .
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解答题-证明题
|
困难
(0.15)
名校
【推荐2】记实数、
中的较大者为
，例如
，
．对于无穷数列
，记
（
），若对于任意的，均有
，则称数列为“趋势递减数列”．
（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由．
①
，②
；
（2）设首项为
的等差数列的前项和为、公差为
，且数列
为“趋势递减数列”，求的取值范围；
（3）若数列
满足
、
均为正实数，且
，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有
．
、中的较大者为，例如，．对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列
是否为“趋势递减数列”，并说明理由．①
，②；（2）设首项为
的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；（3）若数列
满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有．
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，
、
、
成等比数列，公比为
；
成等差数列，公差为
，且
．
，求数列
的通项公式；
的前
．
解答题-证明题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐1】已知数列
满足以下条件：①
，且
；②共有100项，且各项互不相等．定义数列
为数列的一个“10阶连续子列”．
(1)若的通项公式为
，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和；
(2)求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；
(3)若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数
，求的最大值．
满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”．(1)若
的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和；(2)求证：对于每个
，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；(3)若对于每个
，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐2】已知数列
满足：①
（
）；②当
（
）时，
；当
（）时，
.记数列的前项和为.
(1)求满足条件的所有，
，
的值；
(2)若
，求的最小值；
(3)求证：
的充要条件是
（）.
满足：①（）；②当（）时，；当（）时，.记数列的前项和为.(1)求满足条件的所有
，，的值；(2)若
，求的最小值；(3)求证：
的充要条件是（）.
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（
（
，且
，就称该数列为“
数列”.
成等比数列，
，试写出
的
构成首项为100，公差为
的等差数列，数列
项和为
，则当
，试写出所有项数不超过
的
成为数列中的连续项；当
时，试求这些
.
【推荐1】已知数列是首项为1的等差数列，数列
是公比不为1的等比数列，满足
，
，
．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列
的前项和；
(3)若数列
满足
，
，记
．是否存在整数
，使得对任意的
都有
成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，满足，，．(1)求
和的通项公式；(2)求数列
的前项和；(3)若数列
满足，，记．是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
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【推荐2】已知是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，
，且
，
，
成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设
，求数列的前
项和
；
(3)设
，
，证明：
.
是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，，且，，成等差数列.(1)求数列
的通项公式；(2)设
，求数列的前项和；(3)设
，，证明：.
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中前两项
，均存在正整数
使得
，则称数列
数列”.
的等比数列，当
是否相等，并说明数列
，
，记
，其中正整数
，对于每个正整数
时，
的最大值记为
，最小值记为
，设
，当正整数
时，比较
与
的大小，并求出
【推荐1】已知数列，，…，
的项
，其中
…，
，
，其前项和为
，记除以3余数为1的数列，，…，的个数构成的数列为，.
（1）求
的值；
（2）求数列的通项公式，并化简.
，，…，的项，其中…，，，其前项和为，记除以3余数为1的数列，，…，的个数构成的数列为，.（1）求
的值；（2）求数列
的通项公式，并化简.
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(0.15)
名校
【推荐2】记实数、中较小者为
，例如
，
，对于无穷数列，记
.若对任意均有
，则称数列为“趋向递增数列”.
(1)已知数列、的通项公式分别为
，
，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；
(2)已知首项为，公比为
的等比数列
是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；
(3)若数列满足、为正实数，且
，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.
、中较小者为，例如，，对于无穷数列，记.若对任意均有，则称数列为“趋向递增数列”.(1)已知数列
、的通项公式分别为，，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；(2)已知首项为
，公比为的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；(3)若数列
满足、为正实数，且，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.
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的子集
，定义
；若
，定义
.
，
，求
；
.若
､
是
，求证：
；
､
，只要
，就有
，求公比
