【推荐1】已知数列是等比数列，为其前项和．
（1）设,，求；
（2）若成等差数列，证明：也成等差数列．

【推荐2】已知数列的前n项和为，且，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，，且，，是否存在正整数k，使得且？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知数列中，，当时，.求证：数列是等差数列.

【推荐1】已知数列中，，其前项和满足，其中．
（1）求证：数列为等差数列，并求其通项公式；
（2）设，为数列的前项和．
①求的表达式；
②求使的的取值范围．

【推荐2】已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列满足，求的前项和．

【推荐3】已知数列中，，，令．
(1)求数列的通项公式；
(2)若求数列的前23项和．

【推荐1】在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．

【推荐2】已知正项数列的前项和为，数列为等比数列，满足，且，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若从数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求．

【推荐1】已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为等比数列，且，，求数列的前项和.

【推荐2】已知数列的前n项和为，且，数列前项和，且满足
(1)求数列，的通项公式和；
(2)求数列的前项的和；
(3)令，记的前项和为，对，均有，求的最小值.

【推荐3】在①，②，，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
问题：已知数列的前项和为，且满足___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使得这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）