1 . 一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内做往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
   
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

2 . 下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为的抛物线列中，是首项和公比都为的等比数列，过作斜率2的直线与相交于和（在轴的上方，在轴的下方）.
证明：的斜率是定值；
求、、、、所在直线的方程；
记的面积为，证明：数列是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.

3 . 和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系中，空间平面和曲面的方程是一个三原方程.
（1）类比平面解析几何中直线的方程，写出①过点，法向量为的平面的点法式方程；②平面的一般方程；③在，，轴上的截距分别为，，的平面的截距式方程.（不需要说明理由）
（2）设、为空间中的两个定点，，我们将曲面定义为满足的动点的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系，求曲面的方程.
（3）对（2）中的曲面，指出和证明曲面的对称性，并画出曲面的直观图.

4 . 用一个长为，宽为的矩形铁皮（如图1）制作成一个直角圆形弯管（如图3）：先在矩形的中间画一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分分别卷成体积相等的斜截圆柱状（如图2），然后将其中一个适当翻转拼接成直角圆形弯管（如图3）（不计拼接损耗部分），并使得直角圆形弯管的体积最大；

（1）求直角圆形弯管（图3）的体积；
（2）求斜截面椭圆的焦距；
（3）在相应的图1中建立适当的坐标系，使所画的曲线的方程为，求出方程并画出大致图像；

5 . 若动点到定点与定直线的距离之和为4.
（1）求点的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；
（2）记（1）得到的轨迹为曲线，问曲线上关于点（）对称的不同点有几对？请说明理由.