1 . 在用反证法证明“已知，求证：”时的反设为__________，得出的矛盾为________.

3 . 用数学归纳法证明“当n∈N₊时，1+2+2²+2³+…+2^5n-1是31的倍数”，当n=1时，原式为___________，从k到k+1时需增添的项是___________.

4 . 用数学归纳法证明：“对任意奇数n，命题成立”时，第二步论证应该是假设______命题成立，再证______时，命题也成立.

5 . 在证明是的倍数时，时验证的表达式是_______；到增加的表达式是______________．

6 . 已知为正偶数，用数学归纳法证明“”时，第一步的验证为________________________；若已假设（且为偶数）时等式成立，则还需要用归纳假设证________时等式成立.

7 . 用数学归纳法证明：，第一步应验证的等式是__________；从“”到“”左边需增加的等式是_________.

8 . （1）用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取________________；
（2）利用数学归纳法证明“”时，在验证成立时，左边应该是________________．

9 . 高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：

（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积；

（2）左图阴影区域面积用表示为__________；                  

（3）右图中阴影区域的面积为 ；

（4）则柯西不等式用字母可以表示为．

请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：_______________．

10 . 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题一位同学受到启发，借助上面两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：的一种“图形证明”．

证明思路：
（1）图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积；
（2）图1中阴影区域的面积为，图2中，设，图2阴影区域的面积可表示为______用含，，，，的式子表示；
（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式当且仅当，，，满足条件______时，等号成立．