1 . 若复数
满足
，则的虚部为______ ．
满足，则的虚部为
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2 . 设
为正整数，
，
，令
．求证：存在
使得
，．
为正整数，，，令．求证：存在使得，．
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3 . 设
为正整数，若
对所有正整数
成立，则
______ ．
为正整数，若对所有正整数成立，则
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4 . 设
，
，
，
，直线
与双曲线
相交于
，
两点，若
，则
______ ．
，，，，直线与双曲线相交于，两点，若，则
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5 . 工兵用信号探测器探测边长为2千米的等边三角形区域内的地雷，已知探测器的有效作业距离为
千米，从三角形的一个顶点出发，工兵至少需要行走多少距离才能完成探测任务？（要求说明理由）
千米，从三角形的一个顶点出发，工兵至少需要行走多少距离才能完成探测任务？（要求说明理由）
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6 . 设
，
且
，．若
，则
______ ．
，且，．若，则
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7 . 若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”，“完美长方体”的体积的最大值为______ ．
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8 . 已知
，
．设
，则
的整数部分为______ ．
，．设，则的整数部分为
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9 . 设
是严格单调递增的函数，其反函数为
．设
，
分别是方程
和
的解，则
______ ．
是严格单调递增的函数，其反函数为．设，分别是方程和的解，则
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10 . 设、是集合
的两个子集，
，且
时
．记
为的元素之和，则的最大值是______ ．
、是集合的两个子集，，且时．记为的元素之和，则的最大值是
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