1 . 
为已知正整数，
，
.则当
取最小值时，
=______ .
为已知正整数，，.则当取最小值时，=
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2004高三·山东·竞赛
2 . 已知
，且
．给出下面的四个式子
由大到小的排列，并给出相应的证明．
，且．给出下面的四个式子由大到小的排列，并给出相应的证明．
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2005高三·山东·竞赛
3 . 设
（
、
为常数），方程
的两个实数根为
、
，且满足
.
（1）求证：
；
（2）若
，比较
与的大小.
（、为常数），方程的两个实数根为、，且满足.（1）求证：
；（2）若
，比较与的大小.
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4 . 已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是
| A．2枝玫瑰价格高 |
| B．3枝康乃馨价格高 |
| C．价格相同 |
| D．不确定 |
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5 . 若
，
，
，则实数
、、的大小关系是____________ .
，，，则实数、、的大小关系是
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6 . 设
，
.证明：
（1）
，并说明等号成立的条件；
（2）
.
，.证明：（1）
，并说明等号成立的条件；（2）
.
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7 . 已知
. ①
（1）若存在正数a、b、c使不等式①成立，证明：
；
（2）存在正数a、b、c使不等式①成立，且凡使不等式①成立的任意一组正数a、b、c均为某三角形的三边长，求满足条件的整数k.
. ①（1）若存在正数a、b、c使不等式①成立，证明：
；（2）存在正数a、b、c使不等式①成立，且凡使不等式①成立的任意一组正数a、b、c均为某三角形的三边长，求满足条件的整数k.
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2013高三·吉林·竞赛
8 . (1)若
,证明: 
;
(2)若
,且
,求
的最大值、最小值.
,证明: ;(2)若
,且,求的最大值、最小值.
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9 . 已知
，求证：
.
，求证：.
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10 . 若
，证明：
，证明：
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