1 . 已知
为椭圆
上的点，对椭圆
上的任意两点P、Q，用如下办法定义它们的“和”
：过点S作一条平行于
（若点P与Q重合，则直线表示椭圆在P处的切线）的直线l与椭圆交于不同于S的另一点，记作（若l与椭圆
相切，则规定S为）.并规定
.
(1)若点
，求、
以及
的坐标.
(2)在椭圆上是否存在不同于S的点P，满足
？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
为椭圆上的点，对椭圆上的任意两点P、Q，用如下办法定义它们的“和”：过点S作一条平行于（若点P与Q重合，则直线表示椭圆在P处的切线）的直线l与椭圆交于不同于S的另一点，记作（若l与椭圆相切，则规定S为）.并规定.(1)若点
，求、以及的坐标.(2)在椭圆
上是否存在不同于S的点P，满足？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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2 . 设锐角
满足
.令
，且令
，
、
为任意正实数.证明：
.
满足.令，且令，、为任意正实数.证明：.
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3 . 已知动点
在椭圆
的内部，过
作椭圆的弦
.证明：
、
中必有一个不超过
.
在椭圆的内部，过作椭圆的弦.证明：、中必有一个不超过.
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4 . 已知椭圆
的上顶点为
，右焦点为
，直线
与椭圆交于
、
两点.试判断是否存在直线，使得点是
的（1）重心；（2）垂心.若存在，求出对应的直线的方程;若不存在，请说明理由.
的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于、两点.试判断是否存在直线，使得点是的（1）重心；（2）垂心.若存在，求出对应的直线的方程;若不存在，请说明理由.
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5 . 已知同心圆
与椭圆
有公共点．求半径R的最小值．
与椭圆有公共点．求半径R的最小值．
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6 . 设椭圆
，
，过原点
引射线分别与椭圆
、
交于点
、，为线段上一点.
（1）求证：
、
、
成等比数列的充要条件点的轨迹方程为
.
（2）试利用合情推理，将（1）的结论类比到双曲线得出相应的正确结论（不要求证明）.
，，过原点引射线分别与椭圆、交于点、，为线段上一点.（1）求证：
、、成等比数列的充要条件点的轨迹方程为.（2）试利用合情推理，将（1）的结论类比到双曲线得出相应的正确结论（不要求证明）.
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7 . 已知椭圆
，过中心作两条互相垂直的弦
和
，设点、的离心角分别为
、
.求证： 
.
，过中心作两条互相垂直的弦和，设点、的离心角分别为、.求证： .
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8 . 已知椭圆与y轴正向的交点为B，求以点B为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形的个数.
与y轴正向的交点为B，求以点B为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形的个数.
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9 . 已知椭圆
，过中心作互相垂直的两条弦、.设点、的离心角分别为、，求
的取值范围.
，过中心作互相垂直的两条弦、.设点、的离心角分别为、，求的取值范围.
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10 . 以
的边
为实轴的双曲线交此三角形的另两边、的延长线于
、.过点、分别作该双曲线的切线，两切线交于点.求证：
.
的边为实轴的双曲线交此三角形的另两边、的延长线于、.过点、分别作该双曲线的切线，两切线交于点.求证：.
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