1 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，平面平面ABCD，，，点M为棱PC中点，平面ABM与棱PD交于点N．

(1)求证：N是棱PD的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（i）二面角的余弦值；
（ii）在棱PA上是否存在点Q，使得平面BDM？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

2 . 如图，平面平面，四边形为矩形，为正三角形，，为的中点，为上一动点

(1)当平面时，求的值；
(2)在（1）的条件下，求与平面所成角的正弦值

3 . 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，为的重心，．
   
(1)当直线平面时，求的值；
(2)当时，求平面与平面的夹角的大小．

4 . 如图，在四棱锥中，，，，，且.

(1)若平面，证明：点为棱的中点；
(2)已知二面角的大小为，求：平面和平面夹角的余弦值.

5 . 如图1，矩形，，，点E为的中点，将沿直线折起至平面平面（如图2），点M在线段上，平面.
       
(1)求证：；
(2)求点B到面的距离；
(3)若在棱，分别取中点F，G，试判断点M与平面的关系，并说明理由.

6 . 如图，四边形为正方形，点不在所在平面上，且直线平面，，为线段的中点.
   
(1)若为线段的中点，求直线和平面所成角的大小；
(2)若点在线段上移动，当直线平面时，求的面积.

7 . 已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且．现将沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥．

   

(1)若点F在线段AP上，且平面PBC，求的值；
(2)若，求锐二面角的余弦值．

8 . 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）薨（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也. 薨，窟盖也。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍薨”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，.
   
(1)设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长；
(2)点在线段上且满足.试问：在线段上是否存在点，使平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

9 . 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，．

   

(1)求点到平面的距离；
(2)求直线与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．

10 . 如图，在直三棱柱中，，，，点分别是的中点，点是线段上一点，且平面．
   
(1)求证：点是线段的中点；
(2)求二面角的余弦值．