1 . 已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质．
(1)判断集合是否具有性质；
(2)已知集合A具有性质，求证：；
(3)证明：是无理数．

2 . 若集合A具有以下性质：①，；②若x、，则，且时，.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合A是“好集”，求证：若x、，则；
(3)对任意的一个“好集”A，证明：若x、，则必有.

3 . 已知数集（，）具有性质：对任意的，（），与两数中至少有一个属于，（如与中至少有一个属于）.
(1)分别判断数集和是否具有性质，并说明理由；
(2)求的值；
(3)设正整数集合（，）具有性质，证明：对任意（为正整数），都是的因数.

4 . 已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”.
(1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由；
(2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有；
(3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的.

5 . 已知集合为非空数集，定义：，
(1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）；
(2)若集合，且，求证：
(3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值．

6 . 已知M是满足下列条件的集合：①，；②若、，则；③若且，则.
(1)判断是否正确，说明理由；
(2)证明：“若，则”是真命题；
(3)证明：若，，则.

8 . 已知数集具有性质：对任意的与两数中至少有一个属于．
(1)分别判断数集与是否具有性质
(2)证明：，且
(3)当时，若，若数集具有性质，求数集．

9 . 对任意给定的不小于3的正整数，元集合均为正整数集的子集， 若满足:
①;
②;
③，则称互为等矩集.
(1)若集合与互为等矩集，求的值;
(2)证明: 如果集合互为等矩集，那么对于任意的正整数，集合也互为等矩集；

10 . 设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合为的自邻集.记为集合的所有自邻集中最大元素为的集合的个数.
(1)直接判断集合和是否为的自邻集；
(2)比较和的大小，并说明理由；
(3)求证：.