1 . 设自然数
，由
个不同正整数
构成集合
，若集合
的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合
，记
为集合元素的个数
(1)已知集合
，集合
，分别求解
．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记
求证：数列
的前项和
．
，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数(1)已知集合
，集合，分别求解．(2)对于集合
，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”①求
的最大值（无需证明）．②已知集合
是极异集合，记求证：数列的前项和．
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2 . 对于正整数集合
，如果去掉其中任意一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合
为“平衡集”．
(1)判断集合
是否是“平衡集”并说明理由；
(2)求证：若集合是“平衡集”，则集合中元素的奇偶性都相同；
(3)证明：四元集合
，其中
不可能是“平衡集”．
，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“平衡集”．(1)判断集合
是否是“平衡集”并说明理由；(2)求证：若集合
是“平衡集”，则集合中元素的奇偶性都相同；(3)证明：四元集合
，其中不可能是“平衡集”．
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3 . 对于数集
，其中
，
，定义向量集
，若对任意
，存在
，使得
，则称X具有性质P．
(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．
(2)若
，且集合
具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，且
，q为常数且
，求证：
．
，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．(1)设
，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）．(2)若
，且集合具有性质P，求x的值；(3)若X具有性质P，且
，q为常数且，求证：．
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2024-04-23更新
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265次组卷
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2卷引用：江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）学情调研测试数学试题
4 . 对于正整数集合
（
），如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；
(1)判断集合
和
是否是“可分集合”（不必写过程）；
(2)求证：四个元素的集合一定不是“可分集合”；
(3)若集合是“可分集合”，证明：为奇数.
（），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；(1)判断集合
和是否是“可分集合”（不必写过程）；(2)求证：四个元素的集合
一定不是“可分集合”；(3)若集合
是“可分集合”，证明：为奇数.
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5 . 已知集合
中的元素都是正整数，且
．若对任意
，且
，都有
成立，则称集合A具有性质
．
(1)判断集合
是否具有性质；
(2)已知集合A具有性质，求证：
；
(3)证明：
是无理数．
中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质．(1)判断集合
是否具有性质；(2)已知集合A具有性质
，求证：；(3)证明：
是无理数．
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6 . 若集合A具有以下性质：①
，
；②若x、
，则
，且
时，
.则称集合A是“好集”.
(1)分别判断集合
是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合A是“好集”，求证：若x、，则
；
(3)对任意的一个“好集”A，证明：若x、，则必有
.
，；②若x、，则，且时，.则称集合A是“好集”.(1)分别判断集合
是否是“好集”，并说明理由；(2)设集合A是“好集”，求证：若x、
，则；(3)对任意的一个“好集”A，证明：若x、
，则必有.
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7 . 设数集满足：①任意
，有
；②任意
、
，有
或
，则称数集具有性质
.
（1）判断数集
是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集
且
具有性质.
（i）当
时，求证：
、
、
、
是等差数列；
（ii）当、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）
满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质.（1）判断数集
是否具有性质，并说明理由；（2）若数集
且具有性质.（i）当
时，求证：、、、是等差数列；（ii）当
、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）
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2021-09-26更新
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567次组卷
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7卷引用：北京市第十二中学2022届高三10月月考数学试题
8 . 已知无穷集合A，B，且
，
，记
，定义：满足
时，则称集合A，B互为“完美加法补集”.
（Ⅰ）已知集合
，
.判断2019和2020是否属于集合
，并说明理由；
（Ⅱ）设集合
，
.
（ⅰ）求证：集合A，B互为“完美加法补集”；
（ⅱ）记
和
分别表示集合A，B中不大于n（
）的元素个数，写出满足
的元素n的集合.（只需写出结果，不需要证明）
，，记，定义：满足时，则称集合A，B互为“完美加法补集”.（Ⅰ）已知集合
，.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；（Ⅱ）设集合
，.（ⅰ）求证：集合A，B互为“完美加法补集”；
（ⅱ）记
和分别表示集合A，B中不大于n（）的元素个数，写出满足的元素n的集合.（只需写出结果，不需要证明）
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2020-06-23更新
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669次组卷
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4卷引用：北京市一七一中学2020-2021学年高二6月月考数学试题
北京市一七一中学2020-2021学年高二6月月考数学试题北京市丰台区2020届高三下学期综合练习（二）(二模)数学试题（已下线）卷04-【赢在高考·黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（北京专用）北京市八一学校2023-2024学年高三下学期开学摸底考试数学试题
9 . 设集合、
为正整数集
的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：
①对于任意
，若
，都有
；②对于任意
，若
，则
.则称集合为集合的“
集”.
(1)若集合
，求
的“集”
；(2)若三元集
存在“集”
，且中恰含有4个元素，求证：
；(3)若
存在“集”，且
，求的最大值.
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10 . 定义两个维向量
，
的数量积
，
，记
为
的第k个分量（
且
）.如三维向量
，其中
的第2分量
.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，
，满足
（T为常数）且
.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和
.
维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和
.
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2024-04-23更新
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579次组卷
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2卷引用：广东省汕头市潮阳区河溪中学2023-2024学年高三下学期第二学月质检数学试题
