1 . 设集合，若X是的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集.
(1)写出的所有子集､所有偶子集：
(2)写出的所有奇子集；
(3)求证：的奇子集与偶子集个数相等.

2 . 对于正整数集合，，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，我们就称集合为“和谐集”
(1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由．
(2)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由．
(3)求证：集合不是和谐集．

3 . 已知集合具有性质：对任意，（），与至少一个属于.
(1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
(2)证明：；
(3)具有性质，当时，求集合.

4 . 已知集合为非空数集，定义：
(1)若集合，请直接写出集合：
(2)若集合，且，求证：；

6 . 设自然数，若由n个不同的正整数，，…，构成的集合满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．
(1)试分别判断在集合与是否具有性质P，不必说明理由；
(2)已知集合具有性质P．
①记，求证：对于任意正整数，都有；
②令，，求证：；
(3)在（2）的条件下，求的最大值．

8 . 已知集合（，，）具有性质：对任意（），与至少一个属于.
(1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由；
(2)具有性质，当时，求集合；
(3)①求证：；②求证：.

9 . 对正整数，记，．
(1)用列举法表示集合；
(2)求集合中元素的个数；
(3)若的子集中任意两个元素的和不是整数的平方，则称为“稀疏集”，证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14．

10 . 设集合，集合，如果对于任意元素，都有或，则称集合为的自邻集.记为集合的所有自邻集中最大元素为的集合的个数.
(1)直接判断集合和是否为的自邻集；
(2)比较和的大小，并说明理由；
(3)求证：.