1 . 已知圆和定点为圆上的动点，线段的中垂线与直线交于点，设动点的轨迹为曲线.
(1)求证：为定值，并求曲线的方程；
(2)若曲线与轴的正半轴交于点，直线与曲线交于两点，且的面积是，求实数的值.

2 . 已知双曲线，双曲线的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点．
(1)当△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求△OFA的面积；
(2)若点A的坐标是，求直线AB的方程；
(3)求证：直线AB与圆x²+y²＝2相切．

3 . 已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.

4 . 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.

5 . 过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.
(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；
(2)求线段的中点的坐标和.

6 . 设双曲线，点，为双曲线的左､右顶点，点为双曲线上异于顶点的一点，设直线，的斜率分别为，.
(1)证明：；
(2)若过点作不与轴重合的直线与双曲线交于不同两点，，设直线，的斜率分别为，.是否存在常数使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

7 . 已知点分别为双曲线Γ：的左、右焦点，直线与Γ有两个不同的交点A，B．
(1)当时，求到 l 的距离；
(2)若 O 为原点，直线 l 与 Γ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 C，D，证明；当的面积最小时，直线 CD 平行于x轴；
(3)设 P 为 x 轴上一点，是否存在实数 ，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标；若不存在，说明理由．

8 . 在平面直角坐标系中，已知的两个顶点坐标为，直线的斜率乘积为.
(1)求顶点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与曲线交于点，直线相交于点，求证：为定值.