名校
1 . n个有次序的实数
，
，
，
所组成的有序数组
称为一个n维向量，其中
称为该向量的第
个分量．特别地，对一个n维向量
，若
，
，称
为n维信号向量．设，
，
则和
的内积定义为
，且
．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量.
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量
，
，，
满足它们的前m个分量都是相同的，求证：
．
，，，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个n维向量，若，，称为n维信号向量．设，，则
和的内积定义为，且．(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量.
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量
，，，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：．
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名校
解题方法
2 . 已知椭圆
过点
，且离心率为
．设
，
为椭圆
的左、右顶点，
为椭圆上异于，的一点，直线
，
分别与直线
相交于
，
两点，且直线
与椭圆交于另一点
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．
过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．(1)求椭圆
的标准方程；(2)求证：直线
与的斜率之积为定值；(3)判断三点
，，是否共线：并证明你的结论．
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2022-10-11更新
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1672次组卷
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9卷引用：北京市西城区回民学校2024届高三上学期12月月考数学试题
名校
解题方法
3 . 设函数
的定义域为
.若存在常数
，
，使得对于任意
，
成立，则称函数具有性质.
（1）判断函数
和
具有性质？(结论不要求证明)
（2）若函数具有性质，且其对应的
，
.已知当
时，
，求函数在区间
上的最大值；
（3）若函数
具有性质，且直线
为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数.
的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质.（1）判断函数
和具有性质？(结论不要求证明)（2）若函数
具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值；（3）若函数
具有性质，且直线为其图像的一条对称轴，证明：为周期函数.
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2021-08-01更新
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568次组卷
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3卷引用：北京市西城区2020-2021学年高一下学期期末数学试题
名校
4 . 设函数的定义域为R．若存在常数
，对于任意
，
成立，则称函数具有性质
.记P为满足性质的所有函数的集合.
（I）判断函数和
是否属于集合P？（结论不要求证明）
（II）若函数
，证明：
;
（III）记二次函数的全体为集合
，证明：
.
的定义域为R．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质.记P为满足性质的所有函数的集合.（I）判断函数
和是否属于集合P？（结论不要求证明）（II）若函数
，证明：;（III）记二次函数的全体为集合
，证明：.
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2021-01-26更新
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703次组卷
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3卷引用：北京市西城区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题
5 . 若函数对任意的，均有
，则称函数具有性质．
（1）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由．①
；②
．
（2）若函数具有性质，且
，求证：对任意
有
；
（3）在（2）的条件下，是否对任意
均有．若成立给出证明，若不成立给出反例．
对任意的，均有，则称函数具有性质．（1）判断下面两个函数是否具有性质
，并说明理由．①；②．（2）若函数
具有性质，且，求证：对任意有；（3）在（2）的条件下，是否对任意
均有．若成立给出证明，若不成立给出反例．
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2020-05-08更新
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974次组卷
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6卷引用：2011届北京市西城区高三二模试卷数学（文科）
（已下线）2011届北京市西城区高三二模试卷数学（文科）北京市首师大附2017-2018学年高三十月月考数学（文）试题2020届上海市上海中学高三下学期高考模拟（4月）数学试题（已下线）重难点12 选考系列（参数方程与不等式）-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）（已下线）第四章 指数函数与对数函数单元检测卷（能力挑战）-【一堂好课】2021-2022学年高一数学上学期同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）北京市第八十中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题
解题方法
6 . 已知椭圆
的一个顶点为
，焦距为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设点是第一象限内椭圆上一点，过作
轴的垂线，垂足为．点关于原点的对称点为，直线
与椭圆的另一个交点为，直线
与轴的交点为．求证：
三点共线．
的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆
的方程；(2)设点
是第一象限内椭圆上一点，过作轴的垂线，垂足为．点关于原点的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为，直线与轴的交点为．求证：三点共线．
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名校
解题方法
7 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数
除以整数
得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为
的倍数，称为的约数．设正整数共有
个正约数，即为，，，
，
．
(1)当
时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当
时，若
，
，，
构成等比数列，求正整数的所有可能值；
(3)记
，求证：
．
除以整数得到的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数．设正整数共有个正约数，即为，，，，．(1)当
时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；(2)当
时，若，，，构成等比数列，求正整数的所有可能值；(3)记
，求证：．
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2024-05-27更新
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127次组卷
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11卷引用：北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
北京市西城区北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题北京市通州区2023届高三上学期期末数学试题北京市第五十五中学2024届高三上学期10月月考数学试题北京市东城区第六十五中学2024届高三上学期12月月考数学试题湖南省长沙市雅礼中学2024届高三一模数学试卷（已下线）高考数学冲刺押题卷02（2024新题型）（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编（已下线）专题06 数列（已下线）第四套 艺体生新高考全真模拟 （一模重组卷）湖南省常德市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）高二下学期第三次月考模拟卷（新题型）（范围：导数+选择性必修第三册）-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）
8 . 对于函数
，记所有满足
，都有
的函数构成集合；所有满足
，都有
的函数构成集合.
(1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由，
①
；②
；
(2)若
（
）是集合中的元素，求的最小值；
(3)若
，求证：
是
的充分不必要条件.
，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合.(1)分别判断下列函数是否为集合
中的元素，并说明理由，①
；②；(2)若
（）是集合中的元素，求的最小值；(3)若
，求证：是的充分不必要条件.
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解题方法
9 . 已知椭圆
的一个顶点为
，离心率为．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
为原点．直线
与椭圆交于
两点（不是椭圆的顶点），与直线
交于点，直线
分别与直线
交于点
．求证：
．
的一个顶点为，离心率为．(1)求椭圆
的方程；(2)设
为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点．求证：．
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名校
10 . 已知函数
的定义域为
，若
在上为增函数，则称为“一阶比增函数”.
(1)若
是“一阶比增函数”，求实数的取值范围；
(2)若是“一阶比增函数”，求证：
，
，
；
(3)若是“一阶比增函数”，且有零点，求证：
有解.
的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”.(1)若
是“一阶比增函数”，求实数的取值范围；(2)若
是“一阶比增函数”，求证：，，；(3)若
是“一阶比增函数”，且有零点，求证：有解.
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