名校
1 . 设a，b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为
．
(1)求证：
；
(2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则
，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题：
①证明：对于任意整数x都有
；
②求方程
的正整数解的个数．
．(1)求证：
；(2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则
，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题：①证明：对于任意整数x都有
；②求方程
的正整数解的个数．
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2024-02-27更新
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797次组卷
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5卷引用：河北省2024届高三下学期大数据应用调研联合测评（V）数学试题
河北省2024届高三下学期大数据应用调研联合测评（V）数学试题河北省沧州市泊头市大数据联考2024届高三下学期2月月考数学试题河北省秦皇岛市昌黎县开学联考2024届高三下学期开学考试数学试题（已下线）压轴题高等数学背景下新定义题(九省联考第19题模式）讲（已下线）新题型02 新高考新结构竞赛题型十五大考点汇总-2
2 . 已知函数
，且点
处的切线为
．
(1)求
、
的值，并证明：当
时，
成立；
(2)已知
，
，求证：
．
，且点处的切线为．(1)求
、的值，并证明：当时，成立；(2)已知
，，求证：．
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解题方法
3 . 已知
，
是椭圆T.
上的两点，且A点位于第一象限.过A作x轴的垂线，垂足为点C，点D满足
，延长
交T于点
.
（1）设直线
，的斜率分别为
，
.
（i）求证：
；
（ii）证明：
是直角三角形；
（2）求的面积的最大值.
，是椭圆T.上的两点，且A点位于第一象限.过A作x轴的垂线，垂足为点C，点D满足，延长交T于点.（1）设直线
，的斜率分别为，.（i）求证：
；（ii）证明：
是直角三角形；（2）求
的面积的最大值.
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名校
解题方法
4 . 已知：
，
（1）证明：对
，且
，有
；
（2）若
，求证：
.
，（1）证明：对
，且，有；（2）若
，求证：.
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名校
5 . 已知函数
，其中
．
（Ⅰ）讨论
的单调性；
（Ⅱ）当
时，证明：
；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有
（其中e≈2.7183为自然对数的底数）
，其中．（Ⅰ）讨论
的单调性；（Ⅱ）当
时，证明：；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有
（其中e≈2.7183为自然对数的底数）
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2019-01-12更新
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4102次组卷
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10卷引用：【全国百强校】河北省武邑中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文）试题
【全国百强校】河北省武邑中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文）试题【区级联考】天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（文）试题【区级联考】天津市部分区2019届高三（上）期末数学（文科）试题【全国百强校】四川省成都市成都外国语学校2018-2019学年高二下学期期中考试文科数学试题江西省五市八校2019-2020学年高三第二次联考文科数学试题湖北省武汉二中2019-2020学年高二下学期4月第二次线上测试数学试题四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题广东省佛山市三水区三水中学2019-2020学年高二下学期第二次统考数学试题黑龙江省大庆实验中学2019届高三普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟试题
名校
6 . 对于无穷数列
，“若存在
，必有
”，则称数列具有
性质.
（1）若数列满足
，判断数列是否具有
性质？是否具有
性质？
（2）对于无穷数列，设
，求证：若数列具有
性质，则
必为有限集；
（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有
性质，又具有
性质，是否存在正整数
，
，使得
，
，
，…，
，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
，“若存在，必有”，则称数列具有性质.（1）若数列
满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？（2）对于无穷数列
，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；（3）已知
是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
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2019-06-18更新
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1772次组卷
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5卷引用：专题06 数列
（已下线）专题06 数列2019年上海市普陀区高三高考三模数学试题江西省吉安市第一中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题（一）广东省湛江市雷州市第二中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题（已下线）新题型01 新高考新结构二十一大考点汇总-3
名校
7 . 已知函数
的最大值为
.
（1）若关于的方程
的两个实数根为
，求证：
；
（2）当
时，证明函数
在函数
的最小零点
处取得极小值.
的最大值为.（1）若关于
的方程的两个实数根为，求证：；（2）当
时，证明函数在函数的最小零点处取得极小值.
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2018-05-21更新
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1512次组卷
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4卷引用：河北衡水中学2018届高三数学理科三轮复习系列七-出神入化6
河北衡水中学2018届高三数学理科三轮复习系列七-出神入化6【全国市级联考】山西省太原市2018届高三第三次模拟考试理科数学试题浙江省杭州地区四校2018-2019学年高三上学期联考数学试题（已下线）专题13 导数法妙解极值、最值问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破
解题方法
8 . 已知函数
．
(1)若
在
恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：
．
．(1)若
在恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：
．
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名校
解题方法
9 . 对于数列
，如果存在等差数列
和等比数列
，使得
，则称数列是“优分解”的．
(1)证明：如果是等差数列，则是“优分解”的．
(2)记
，证明：如果数列是“优分解”的，则
或数列
是等比数列．
(3)设数列的前
项和为
，如果和
都是“优分解”的，并且
，求的通项公式．
，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的．(1)证明：如果
是等差数列，则是“优分解”的．(2)记
，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列．(3)设数列
的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式．
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849次组卷
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5卷引用：河北省保定市保定名校协作体2024届高三五月适应性考试（三模）数学试题
名校
10 . 已知函数
.
(1)当时，求曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若有两个极值点
，证明：
.
.(1)当
时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若
有两个极值点，证明：.
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