1 . 如图，在正三棱柱中，为的中点.

(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

2 . 已知函数.
(1)当时，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；
(2)设函数，，对于曲线上的两个不同的点，，记直线的斜率为，若函数的导函数为，证明：.

3 . 如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且，．

(1)求证：；
(2)求直线BD与AC所成角的大小．

4 . 已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求的重心到平面的距离.

5 . 如图，在四棱锥中，平面平面，，．

(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.

6 . 已知是抛物线的焦点，抛物线上点A满足AF垂直于x轴，且．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)是该抛物线上的两点，，求线段的中点到轴的距离；
(3)已知点，直线过点与抛物线交于，两个不同的点均与点H不重合，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．

7 . 在正四棱柱中，为的中点，.

(1)点满足，求证：四点共面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

8 . 已知椭圆，直线.
(1)求证：对，直线与椭圆总有两个不同交点；
(2)直线与椭圆交于两点，且，求的值.

9 . 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，且分别为棱的中点．
   
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离．

10 . 如图，在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，．
   
(1)证明：平面．
(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．