1 . 已知函数的定义域为，，，且在区间上单调递减．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)当时，求不等式的解集．

2 . 已知关于，的方程组其中.
(1)当时，求该方程组的解；
(2)证明：无论为何值，该方程组总有两组不同的解；
(3)记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.

3 . 在中，.若点为上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，交于点.

(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，点为的中点，连接交于点.若，猜想线段与线段的数量关系，并写出证明过程；
(3)如图3，若为的中点，将绕点旋转得，连接，当最小时，求.

4 . 在中，顺次连接.
   
(1)如图1，若点是的中点，且交延长线于点，求证：为的切线；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，过点作于点，若，则有何数量关系？
(3)如图3，当时，是延长线上一点，是线段上一点，且，若的周长为9，请求出的值？

5 . 如图1，已知直线与轴、轴分别交于点和点，过直线上的两点、分别作轴的垂线段，垂足分别为和，其中，.

   
(1)如果，，试判断的形状；
(2)如果，（1）中有关的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
(3)如图2，题目中的条件不变，如果，并且，求经过、、三点的抛物线所对应的函数关系式；
(4)在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴与线段交于点，点是对称轴上一动点，以点、、为顶点的三角形和以点、、为顶点的三角形相似，求符合条件的点的坐标.

6 . 如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记．

(1)记四边形的面积为的函数，周长为的函数，
（i）证明：；
（ii）求的最大值；
(2)求四边形面积的最小值．

7 . 已知函数．
(1)求证：；
(2)若函数，满足，则函数的图象关于点对称．设函数，
（ⅰ）求图象的对称中心；
（ⅱ）求的值．

8 . 已知数列是等差数列，数列满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设数列、的公差均为，且存在正整数，使得，求的最大值；
(3)在（2）的条件下，当取得最大值时，设，记数列的前项和为，问：是否存在自然数，使得成立？说明理由.

9 . 如图，以为直径的交的边于点，且，为弧上的一点：
   
(1)求证：为的切线；
(2)连接，且，过点的弦分别交弦，直径于点，，若，，求的值．

10 . 已知​.
(1)若，且，求 ​的最小值；
(2)求证：函数在上单调的充要条件是​.